MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flftg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flftg 22021
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l 𝐽 = (topGen‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
flftg ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Distinct variable groups:   𝑜,𝑠,𝐴   𝐵,𝑜   𝑜,𝐹,𝑠   𝐽,𝑠   𝑜,𝐿,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑠)   𝐽(𝑜)   𝑋(𝑜)   𝑌(𝑜)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 22018 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))))
2 flftg.l . . . . 5 𝐽 = (topGen‘𝐵)
32raleqi 3281 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
4 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topontop 20940 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
72, 6syl5eqelr 2844 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
8 tgclb 20996 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ TopBases)
10 bastg 20992 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
11 eleq2w 2823 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (𝐴𝑢𝐴𝑜))
12 sseq2 3768 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1312rexbidv 3190 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1411, 13imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1514cbvralv 3310 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
16 ssralv 3807 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1715, 16syl5bi 232 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
189, 10, 173syl 18 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
19 tg2 20991 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢))
20 r19.29 3210 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)))
21 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝐴𝑜)
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝑜𝑢)
23 sstr2 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝑜𝑢 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2524reximdv 3154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2621, 25embantd 59 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2726impcom 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2827rexlimivw 3167 . . . . . . . . . 10 (∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2920, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
3029ex 449 . . . . . . . 8 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → (∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3119, 30syl5 34 . . . . . . 7 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3231expdimp 452 . . . . . 6 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3332ralrimiva 3104 . . . . 5 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3418, 33impbid1 215 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
353, 34syl5bb 272 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
3635pm5.32da 676 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
371, 36bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  topGenctg 16320  Topctop 20920  TopOnctopon 20937  TopBasesctb 20971  Filcfil 21870   fLimf cflf 21960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-topgen 16326  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-ntr 21046  df-nei 21124  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965
This theorem is referenced by:  txflf  22031
  Copyright terms: Public domain W3C validator