Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldivexpfllog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldivexpfllog2 42877
Description: The floor of a positive real number divided by 2 to the power of the floor of the logarithm to base 2 of the number is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fldivexpfllog2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)

Proof of Theorem fldivexpfllog2
StepHypRef Expression
1 2z 11610 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 uzid 11902 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
31, 2mp1i 13 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4 id 22 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)
5 eqid 2770 . . . 4 (⌊‘(2 logb 𝑋)) = (⌊‘(2 logb 𝑋))
63, 4, 5fllogbd 42872 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))))
7 2re 11291 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
9 2ne0 11314 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
11 relogbzcl 24732 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
123, 4, 11syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
1312flcld 12806 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ)
148, 10, 13reexpclzd 13240 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ)
15 2pos 11313 . . . . . . . . 9 0 < 2
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
17 expgt0 13099 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑋)) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
188, 13, 16, 17syl3anc 1475 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))
1914, 18elrpd 12071 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+)
20 rpre 12041 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ)
21 divge1b 42820 . . . . . . 7 (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ) → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
2221bicomd 213 . . . . . 6 (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
2319, 20, 22syl2anc 565 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ↔ (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋))
2423biimprd 238 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋 → 1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))))
25 2cnd 11294 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
2625, 10, 13expp1zd 13223 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) = ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2))
2726breq2d 4796 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
28 ltdivmul 11099 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
2920, 8, 14, 18, 28syl112anc 1479 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2 ↔ 𝑋 < ((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) · 2)))
3027, 29bitr4d 271 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
3130biimpd 219 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2))
32 1p1e2 11335 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
3332breq2i 4792 . . . . 5 ((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1) ↔ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < 2)
3431, 33syl6ibr 242 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1)) → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
3524, 34anim12d 588 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → (((2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≤ 𝑋𝑋 < (2↑((⌊‘(2 logb 𝑋)) + 1))) → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
366, 35mpd 15 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1)))
3725, 10, 13expne0d 13220 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))) ≠ 0)
3820, 14, 37redivcld 11054 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ)
39 1zzd 11609 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℤ)
40 flbi 12824 . . 3 (((𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
4138, 39, 40syl2anc 565 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) ∧ (𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋)))) < (1 + 1))))
4236, 41mpbird 247 1 (𝑋 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑋 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑋))))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276   / cdiv 10885  2c2 11271  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  cfl 12798  cexp 13066   logb clogb 24722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-logb 24723
This theorem is referenced by:  dig2nn1st  42917
  Copyright terms: Public domain W3C validator