Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldhmsubcALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldhmsubcALTV 42427
 Description: According to df-subc 16519, the subcategories (Subcat‘𝐶) of a category 𝐶 are subsets of the homomorphisms of 𝐶 ( see subcssc 16547 and subcss2 16550). Therefore, the set of field homomorphisms is a "subcategory" of the category of division rings. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubcALTV.c 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f 𝐹 = (𝑟𝐷, 𝑠𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldhmsubcALTV (𝑈𝑉𝐹 ∈ (Subcat‘((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem fldhmsubcALTV
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3829 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ (DivRing ∩ CRing) ↔ (𝑟 ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ CRing))
21simprbi 479 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (DivRing ∩ CRing) → 𝑟 ∈ CRing)
3 crngring 18604 . . . . . 6 (𝑟 ∈ CRing → 𝑟 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑟 ∈ (DivRing ∩ CRing) → 𝑟 ∈ Ring)
5 df-field 18798 . . . . 5 Field = (DivRing ∩ CRing)
64, 5eleq2s 2748 . . . 4 (𝑟 ∈ Field → 𝑟 ∈ Ring)
76rgen 2951 . . 3 𝑟 ∈ Field 𝑟 ∈ Ring
8 fldhmsubcALTV.d . . 3 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
9 fldhmsubcALTV.f . . 3 𝐹 = (𝑟𝐷, 𝑠𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
107, 8, 9srhmsubcALTV 42419 . 2 (𝑈𝑉𝐹 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)))
11 inss1 3866 . . . . . . 7 (DivRing ∩ CRing) ⊆ DivRing
125, 11eqsstri 3668 . . . . . 6 Field ⊆ DivRing
13 sslin 3872 . . . . . 6 (Field ⊆ DivRing → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing)
1514a1i 11 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
16 drhmsubcALTV.c . . . . 5 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
178, 16sseq12i 3664 . . . 4 (𝐷𝐶 ↔ (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
1815, 17sylibr 224 . . 3 (𝑈𝑉𝐷𝐶)
19 ssid 3657 . . . . . 6 (𝑥 RingHom 𝑦) ⊆ (𝑥 RingHom 𝑦)
2019a1i 11 . . . . 5 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 RingHom 𝑦) ⊆ (𝑥 RingHom 𝑦))
219a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝐹 = (𝑟𝐷, 𝑠𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
22 oveq12 6699 . . . . . . 7 ((𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑦) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑦))
2322adantl 481 . . . . . 6 (((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝑟 = 𝑥𝑠 = 𝑦)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑥 RingHom 𝑦))
24 simprl 809 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥𝐷)
25 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦𝐷)
27 ovexd 6720 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 RingHom 𝑦) ∈ V)
2821, 23, 24, 26, 27ovmpt2d 6830 . . . . 5 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
29 drhmsubcALTV.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
3029a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3114, 17mpbir 221 . . . . . . . 8 𝐷𝐶
3231sseli 3632 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥𝐶)
3332ad2antrl 764 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥𝐶)
3431sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑦𝐷𝑦𝐶)
3534adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → 𝑦𝐶)
3635adantl 481 . . . . . 6 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦𝐶)
3730, 23, 33, 36, 27ovmpt2d 6830 . . . . 5 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
3820, 28, 373sstr4d 3681 . . . 4 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))
3938ralrimivva 3000 . . 3 (𝑈𝑉 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))
40 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
419, 40fnmpt2i 7284 . . . . 5 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷)
4241a1i 11 . . . 4 (𝑈𝑉𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷))
4329, 40fnmpt2i 7284 . . . . 5 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
4443a1i 11 . . . 4 (𝑈𝑉𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
45 inex1g 4834 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ DivRing) ∈ V)
4616, 45syl5eqel 2734 . . . 4 (𝑈𝑉𝐶 ∈ V)
4742, 44, 46isssc 16527 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝐹cat 𝐽 ↔ (𝐷𝐶 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐽𝑦))))
4818, 39, 47mpbir2and 977 . 2 (𝑈𝑉𝐹cat 𝐽)
4916, 29drhmsubcALTV 42423 . . 3 (𝑈𝑉𝐽 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)))
50 eqid 2651 . . . 4 ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) = ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽)
5150subsubc 16560 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)) → (𝐹 ∈ (Subcat‘((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)) ∧ 𝐹cat 𝐽)))
5249, 51syl 17 . 2 (𝑈𝑉 → (𝐹 ∈ (Subcat‘((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽)) ↔ (𝐹 ∈ (Subcat‘(RingCatALTV‘𝑈)) ∧ 𝐹cat 𝐽)))
5310, 48, 52mpbir2and 977 1 (𝑈𝑉𝐹 ∈ (Subcat‘((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692   ⊆cat cssc 16514   ↾cat cresc 16515  Subcatcsubc 16516  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760  DivRingcdr 18795  Fieldcfield 18796  RingCatALTVcringcALTV 42329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-cat 16376  df-cid 16377  df-homf 16378  df-ssc 16517  df-resc 16518  df-subc 16519  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-ringcALTV 42331 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator