MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcld 12793
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
flcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
flcld (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld
StepHypRef Expression
1 flcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 flcl 12790 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  cfv 6049  cr 10127  cz 11569  cfl 12785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fl 12787
This theorem is referenced by:  flge  12800  flwordi  12807  flword2  12808  fladdz  12820  flhalf  12825  fldiv4p1lem1div2  12830  fldiv4lem1div2uz2  12831  fldiv4lem1div2  12832  ceicl  12836  quoremz  12848  intfracq  12852  fldiv  12853  moddiffl  12875  moddifz  12876  zmodcl  12884  modadd1  12901  modmuladd  12906  modmul1  12917  modsubdir  12933  iexpcyc  13163  absrdbnd  14280  limsupgre  14411  climrlim2  14477  dvdsmod  15252  divalgmod  15331  divalgmodOLD  15332  flodddiv4t2lthalf  15342  bitsp1  15355  bitsmod  15360  bitscmp  15362  bitsuz  15398  modgcd  15455  bezoutlem3  15460  isprm7  15622  hashdvds  15682  prmdiv  15692  odzdvds  15702  fldivp1  15803  pcfac  15805  pcbc  15806  prmreclem4  15825  vdwnnlem3  15903  mulgmodid  17782  odmod  18165  gexdvds  18199  zringlpirlem3  20036  zcld  22817  ovolunlem1a  23464  opnmbllem  23569  mbfi1fseqlem5  23685  dvfsumlem1  23988  dvfsumlem3  23990  sineq0  24472  efif1olem2  24488  ppiltx  25102  dvdsflf1o  25112  ppiub  25128  fsumvma2  25138  logfac2  25141  chpchtsum  25143  pcbcctr  25200  bposlem1  25208  bposlem3  25210  bposlem4  25211  bposlem5  25212  bposlem6  25213  gausslemma2dlem3  25292  gausslemma2dlem4  25293  gausslemma2dlem5  25295  lgseisenlem4  25302  lgseisen  25303  lgsquadlem1  25304  lgsquadlem2  25305  2lgslem1  25318  2lgslem2  25319  chebbnd1lem2  25358  chebbnd1lem3  25359  rplogsumlem2  25373  rpvmasumlem  25375  dchrisumlema  25376  dchrisumlem3  25379  dchrvmasumiflem1  25389  dchrisum0lem1  25404  rplogsum  25415  mulog2sumlem2  25423  pntrsumo1  25453  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem4  25468  pntpbnd1  25474  pntpbnd2  25475  pntlemg  25486  pntlemq  25489  pntlemr  25490  pntlemf  25493  ostth2lem2  25522  dya2ub  30641  dya2icoseg  30648  dnibndlem13  32786  knoppndvlem19  32827  ltflcei  33710  opnmbllem0  33758  itg2addnclem2  33775  cntotbnd  33908  irrapxlem1  37888  irrapxlem2  37889  irrapxlem3  37890  irrapxlem4  37891  pellexlem5  37899  pellfund14  37964  hashnzfz2  39022  hashnzfzclim  39023  sineq0ALT  39672  lefldiveq  40004  ltmod  40373  ioodvbdlimc1lem2  40650  ioodvbdlimc2lem  40652  dirkertrigeqlem3  40820  dirkertrigeq  40821  dirkercncflem4  40826  fourierdlem4  40831  fourierdlem7  40834  fourierdlem19  40846  fourierdlem26  40853  fourierdlem41  40868  fourierdlem47  40873  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem51  40877  fourierdlem63  40889  fourierdlem65  40891  fourierdlem71  40897  fourierdlem89  40915  fourierdlem90  40916  fourierdlem91  40917  lighneallem2  42033  fldivmod  42823  modn0mul  42825  fllogbd  42864  fldivexpfllog2  42869  logbpw2m1  42871  fllog2  42872  nnpw2blen  42884  blen1b  42892  nnolog2flm1  42894  blennngt2o2  42896  blennn0e2  42898  digvalnn0  42903  dig2nn1st  42909  dig2nn0  42915  dig2bits  42918  dignn0flhalflem2  42920
  Copyright terms: Public domain W3C validator