Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcidc 38061
 Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
flcidc.s (𝜑𝑆 ∈ Fin)
flcidc.k (𝜑𝐾𝑆)
flcidc.b ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
flcidc (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝐵,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)))
21fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝑆)
54snssd 4372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝑆)
65sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
7 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 = 𝐾𝑖 = 𝐾))
87ifbid 4141 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝐾, 1, 0) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
9 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))
10 1ex 10073 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
11 c0ex 10072 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1210, 11ifex 4189 . . . . . . . . 9 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ V
138, 9, 12fvmpt 6321 . . . . . . . 8 (𝑖𝑆 → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
146, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
153, 14eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
16 elsni 4227 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {𝐾} → 𝑖 = 𝐾)
1716iftrued 4127 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {𝐾} → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 1)
1915, 18eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) = 1)
2019oveq1d 6705 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
21 flcidc.b . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
226, 21syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322mulid2d 10096 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2420, 23eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐵)
2524sumeq2dv 14477 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵)
26 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
27 0cn 10070 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
2826, 27keepel 4188 . . . . 5 if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℂ
2915, 28syl6eqel 2738 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3029, 22mulcld 10098 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐾}) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) ∈ ℂ)
312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖))
32 eldifi 3765 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → 𝑖𝑆)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝑖𝑆)
3433, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝑗𝑆 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 1, 0))‘𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
3531, 34eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = if(𝑖 = 𝐾, 1, 0))
36 eldifn 3766 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 ∈ {𝐾})
37 velsn 4226 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝐾} ↔ 𝑖 = 𝐾)
3836, 37sylnib 317 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑖 = 𝐾)
3938iffalsed 4130 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾}) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → if(𝑖 = 𝐾, 1, 0) = 0)
4135, 40eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (𝐹𝑖) = 0)
4241oveq1d 6705 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
4333, 21syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4443mul02d 10272 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → (0 · 𝐵) = 0)
4542, 44eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑆 ∖ {𝐾})) → ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 0)
46 flcidc.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
475, 30, 45, 46fsumss 14500 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾} ((𝐹𝑖) · 𝐵) = Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵))
48 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑆𝐾𝑆))
4948anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑𝑗𝑆) ↔ (𝜑𝐾𝑆)))
50 csbeq1 3569 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐾𝑗 / 𝑖𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
5150eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
5249, 51imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → (((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
53 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑗𝑆)
54 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . 9 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵
5554nfel1 2808 . . . . . . . 8 𝑖𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ
5653, 55nfim 1865 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
57 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑆𝑗𝑆))
5857anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖𝑆) ↔ (𝜑𝑗𝑆)))
59 csbeq1a 3575 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑖𝐵)
6059eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6158, 60imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)))
6256, 61, 21chvar 2298 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑆) → 𝑗 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
6352, 62vtoclg 3297 . . . . 5 (𝐾𝑆 → ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ))
6463anabsi7 877 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑆) → 𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
654, 64mpdan 703 . . 3 (𝜑𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ)
66 sumsns 14523 . . 3 ((𝐾𝑆𝐾 / 𝑖𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
674, 65, 66syl2anc 694 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐾 / 𝑖𝐵)
6825, 47, 673eqtr3d 2693 1 (𝜑 → Σ𝑖𝑆 ((𝐹𝑖) · 𝐵) = 𝐾 / 𝑖𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ⦋csb 3566   ∖ cdif 3604  ifcif 4119  {csn 4210   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator