MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flbi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flbi2 12826
Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
flbi2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1)))

Proof of Theorem flbi2
StepHypRef Expression
1 zre 11583 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 readdcl 10221 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℝ)
31, 2sylan 569 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℝ)
4 simpl 468 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 flbi 12825 . . 3 (((𝑁 + 𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
63, 4, 5syl2anc 573 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
7 addge01 10740 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐹𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹)))
8 1re 10241 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
9 ltadd2 10343 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
108, 9mp3an2 1560 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
1110ancoms 455 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
127, 11anbi12d 616 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐹𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
131, 12sylan 569 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐹𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
146, 13bitr4d 271 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cz 11579  cfl 12799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fl 12801
This theorem is referenced by:  adddivflid  12827  ico01fl0  12828  divfl0  12833  fldiv4p1lem1div2  12844  fldiv  12867  modid  12903  flodddiv4  15345  bitsp1o  15363  fldivp1  15808  fourierdlem26  40867  zofldiv2ALTV  42102  zofldiv2  42853
  Copyright terms: Public domain W3C validator