Theorem fisuppfi 8437

Description: A function on a finite set is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fisuppfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fisuppfi.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fisuppfi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Proof of Theorem fisuppfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fisuppfi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		cnvimass 5625	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
3		fisuppfi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
4		fdm 6190	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6	2, 5	syl5sseq 3799	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7		ssfi 8334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1629   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3720  ^◡ccnv 5247  dom cdm 5248   “ cima 5251  ⟶wf 6026  Fincfn 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-om 7211  df-er 7894  df-en 8108  df-fin 8111

This theorem is referenced by:  fdmfisuppfi  8438  fsumss  14667  fprodss  14889  fidmfisupp  39910