MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fissuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fissuni 8387
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 dfss3 3698 . . . . 5 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
3 eluni2 4548 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑥𝑧)
43ralbii 3082 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
52, 4sylbb 209 . . . 4 (𝐴 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
65adantr 472 . . 3 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧)
7 eleq2 2792 . . . 4 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
87ac6sfi 8320 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 𝑥𝑧) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
91, 6, 8syl2anc 696 . 2 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)))
10 fimass 6194 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
11 vex 3307 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1211imaex 7221 . . . . . . 7 (𝑓𝐴) ∈ V
1312elpw 4272 . . . . . 6 ((𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑓𝐴) ⊆ 𝐵)
1410, 13sylibr 224 . . . . 5 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
1514ad2antrl 766 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ 𝒫 𝐵)
16 ffun 6161 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → Fun 𝑓)
1716ad2antrl 766 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → Fun 𝑓)
18 simplr 809 . . . . 5 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 ∈ Fin)
19 imafi 8375 . . . . 5 ((Fun 𝑓𝐴 ∈ Fin) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2017, 18, 19syl2anc 696 . . . 4 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ Fin)
2115, 20elind 3906 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → (𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
22 ffn 6158 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2322adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑓 Fn 𝐴)
24 ssid 3730 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝐴
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
26 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
27 fnfvima 6611 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn 𝐴𝐴𝐴𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴))
29 elssuni 4575 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ (𝑓𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (𝑓𝐴))
3130sseld 3708 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → 𝑥 (𝑓𝐴)))
3231ralimdva 3064 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴)))
3332imp 444 . . . . 5 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
34 dfss3 3698 . . . . 5 (𝐴 (𝑓𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝑓𝐴))
3533, 34sylibr 224 . . . 4 ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥)) → 𝐴 (𝑓𝐴))
3635adantl 473 . . 3 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → 𝐴 (𝑓𝐴))
37 unieq 4552 . . . . 5 (𝑐 = (𝑓𝐴) → 𝑐 = (𝑓𝐴))
3837sseq2d 3739 . . . 4 (𝑐 = (𝑓𝐴) → (𝐴 𝑐𝐴 (𝑓𝐴)))
3938rspcev 3413 . . 3 (((𝑓𝐴) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 (𝑓𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
4021, 36, 39syl2anc 696 . 2 (((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (𝑓𝑥))) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
419, 40exlimddv 1976 1 ((𝐴 𝐵𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  cin 3679  wss 3680  𝒫 cpw 4266   cuni 4544  cima 5221  Fun wfun 5995   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  Fincfn 8072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-fin 8076
This theorem is referenced by:  isacs3lem  17288  isnacs3  37692
  Copyright terms: Public domain W3C validator