MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisseneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisseneq 8338
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq
StepHypRef Expression
1 df-pss 3731 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 pssinf 8337 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
32expcom 450 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
41, 3syl5bir 233 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
54expdimp 452 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
65necon4ad 2951 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
763impia 1110 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
873com13 1119 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  wpss 3716   class class class wbr 4804  cen 8120  Fincfn 8123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127
This theorem is referenced by:  en1eqsn  8357  en2eqpr  9040  en2eleq  9041  psgnunilem1  18133  sylow2blem1  18255  fislw  18260  sylow2  18261  cyggenod  18506  ablfac1c  18690  ablfac1eu  18692  fta1blem  24147  vieta1  24286  upgrex  26207  poimirlem26  33766  fiuneneq  38295
  Copyright terms: Public domain W3C validator