MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fipwuni 8487
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 7101 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
2 pwexg 4978 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 pwuni 4608 . . . 4 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
5 fiss 8485 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝒫 𝐴))
63, 4, 5sylancl 566 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝒫 𝐴))
7 ssinss1 3988 . . . . . . 7 (𝑥 𝐴 → (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
8 vex 3352 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
98elpw 4301 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
108inex1 4930 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
1110elpw 4301 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
127, 9, 113imtr4i 281 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1312adantr 466 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1413rgen2a 3125 . . . 4 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴
15 inficl 8486 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴))
163, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴))
1714, 16mpbii 223 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴)
186, 17sseqtrd 3788 . 2 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
19 fvprc 6326 . . 3 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
20 0ss 4114 . . 3 ∅ ⊆ 𝒫 𝐴
2119, 20syl6eqss 3802 . 2 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
2218, 21pm2.61i 176 1 (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  Vcvv 3349  cin 3720  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295   cuni 4572  cfv 6031  ficfi 8471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-fin 8112  df-fi 8472
This theorem is referenced by:  fiuni  8489  ordtbas  21216
  Copyright terms: Public domain W3C validator