Theorem finxpsuc 33365

Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxpsuc	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2		ordge1n0 7623	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑁 → (1𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (1𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4	3	biimprd 238	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1𝑜 ⊆ 𝑁))
5	4	imdistani 726	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1𝑜 ⊆ 𝑁))
6		eqid 2651	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1𝑜 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1𝑜 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
7	6	finxpsuclem 33364	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1𝑜 ⊆ 𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ifcif 4119  ⟨cop 4216  ∪ cuni 4468   × cxp 5141  Ord word 5760  suc csuc 5763  ‘cfv 5926   ↦ cmpt2 6692  ωcom 7107  1^st c1st 7208  1_𝑜c1o 7598  ↑↑cfinxp 33350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-finxp 33351

This theorem is referenced by:  finxp2o  33366  finxp3o  33367  finxp00  33369