Theorem finxp3o 33566

Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp3o	⊢ (𝑈↑↑3𝑜) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 7732	. . 3 ⊢ 3𝑜 = suc 2𝑜
2		finxpeq2 33553	. . 3 ⊢ (3𝑜 = suc 2𝑜 → (𝑈↑↑3𝑜) = (𝑈↑↑suc 2𝑜))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑3𝑜) = (𝑈↑↑suc 2𝑜)
4		2onn 7891	. . 3 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
5		2on0 7740	. . 3 ⊢ 2𝑜 ≠ ∅
6		finxpsuc 33564	. . 3 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2𝑜) = ((𝑈↑↑2𝑜) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 710	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 2𝑜) = ((𝑈↑↑2𝑜) × 𝑈)
8		finxp2o 33565	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈 × 𝑈)
9	8	xpeq1i 5292	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑2𝑜) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2786	1 ⊢ (𝑈↑↑3𝑜) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∅c0 4058   × cxp 5264  suc csuc 5886  ωcom 7231  2_𝑜c2o 7724  3_𝑜c3o 7725  ↑↑cfinxp 33549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-3o 7732  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-finxp 33550

This theorem is referenced by: (None)