Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp2o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp2o 33573
Description: The value of Cartesian exponentiation at two. (Contributed by ML, 19-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp2o (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈 × 𝑈)

Proof of Theorem finxp2o
StepHypRef Expression
1 df-2o 7714 . . 3 2𝑜 = suc 1𝑜
2 finxpeq2 33561 . . 3 (2𝑜 = suc 1𝑜 → (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈↑↑suc 1𝑜))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈↑↑suc 1𝑜)
4 1onn 7873 . . 3 1𝑜 ∈ ω
5 1n0 7729 . . 3 1𝑜 ≠ ∅
6 finxpsuc 33572 . . 3 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 1𝑜) = ((𝑈↑↑1𝑜) × 𝑈))
74, 5, 6mp2an 672 . 2 (𝑈↑↑suc 1𝑜) = ((𝑈↑↑1𝑜) × 𝑈)
8 finxp1o 33566 . . 3 (𝑈↑↑1𝑜) = 𝑈
98xpeq1i 5275 . 2 ((𝑈↑↑1𝑜) × 𝑈) = (𝑈 × 𝑈)
103, 7, 93eqtri 2797 1 (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈 × 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  c0 4063   × cxp 5247  suc csuc 5868  ωcom 7212  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707  ↑↑cfinxp 33557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-finxp 33558
This theorem is referenced by:  finxp3o  33574
  Copyright terms: Public domain W3C validator