Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp00 33542
Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp00 (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finxpeq2 33527 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
21eqeq1d 2754 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3 finxpeq2 33527 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
43eqeq1d 2754 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5 finxpeq2 33527 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
65eqeq1d 2754 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7 finxpeq2 33527 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
87eqeq1d 2754 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9 finxp0 33531 . . 3 (∅↑↑∅) = ∅
10 suceq 5943 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11 df-1o 7721 . . . . . . . . 9 1𝑜 = suc ∅
1210, 11syl6eqr 2804 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1𝑜)
13 finxpeq2 33527 . . . . . . . 8 (suc 𝑚 = 1𝑜 → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1𝑜))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1𝑜))
15 finxp1o 33532 . . . . . . 7 (∅↑↑1𝑜) = ∅
1614, 15syl6eq 2802 . . . . . 6 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
1716adantl 473 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18 finxpsuc 33538 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19 xp0 5702 . . . . . 6 ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
2018, 19syl6eq 2802 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2117, 20pm2.61dane 3011 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2221a1d 25 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
232, 4, 6, 8, 9, 22finds 7249 . 2 (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24 finxpnom 33541 . 2 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
2523, 24pm2.61i 176 1 (∅↑↑𝑁) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  c0 4050   × cxp 5256  suc csuc 5878  ωcom 7222  1𝑜c1o 7714  ↑↑cfinxp 33523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-finxp 33524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator