MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2ssteplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2ssteplem4 26678
Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 26679. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
finsumvtxdg2ssteplem.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2ssteplem4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣   𝑖,𝐽   𝑣,𝐾
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem4
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdg2sstep.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 finsumvtxdg2sstep.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 finsumvtxdg2sstep.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 finsumvtxdg2sstep.i . . . . . . . 8 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 finsumvtxdg2sstep.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 finsumvtxdg2sstep.s . . . . . . . 8 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 finsumvtxdg2ssteplem.j . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1fi 26674 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
98ad2antll 700 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
109sumeq2d 14639 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
11 diffi 8347 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
1211adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
1312adantl 467 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
145dmeqi 5463 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
15 finresfin 8341 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
16 dmfi 8399 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1814, 17syl5eqel 2853 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
1918ad2antll 700 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → dom 𝑃 ∈ Fin)
203eqcomi 2779 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = 𝐾
2120eleq2i 2841 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣𝐾)
2221biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝐾)
236fveq2i 6335 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
241fvexi 6343 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
2524difexi 4940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
263, 25eqeltri 2845 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
272fvexi 6343 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
2827resex 5584 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
295, 28eqeltri 2845 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
3026, 29opvtxfvi 26109 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
3123, 30eqtr2i 2793 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Vtx‘𝑆)
321, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 26669 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
3332eqcomi 2779 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
34 eqid 2770 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
3531, 33, 34vtxdgfisnn0 26605 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11554 . . . . . . 7 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
3719, 22, 36syl2an 575 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
38 dmfi 8399 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
39 rabfi 8340 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
417, 40syl5eqel 2853 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
42 rabfi 8340 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Fin → {𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
43 hashcl 13348 . . . . . . . . . 10 ({𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℕ0)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℕ0)
4544nn0cnd 11554 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4645ad2antll 700 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4746adantr 466 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4813, 37, 47fsumadd 14677 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
4910, 48eqtrd 2804 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
503sumeq1i 14635 . . . . . 6 Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣)
5150eqeq1i 2775 . . . . 5 𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) ↔ Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)))
52 oveq1 6799 . . . . 5 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5351, 52sylbi 207 . . . 4 𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5449, 53sylan9eq 2824 . . 3 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5554oveq1d 6807 . 2 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
5645adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
5756adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
5812, 57fsumcl 14671 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
59 hashcl 13348 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
6160nn0cnd 11554 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
6261adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
63 rabfi 8340 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin)
64 hashcl 13348 . . . . . . . . . . 11 ({𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
6538, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11554 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
6766adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
6858, 62, 67add12d 10463 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
6968adantl 467 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
701, 2, 3, 4, 5, 6, 7finsumvtxdg2ssteplem3 26677 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
7170oveq2d 6808 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
72612timesd 11476 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝐽)) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
7372eqcomd 2776 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
7473ad2antll 700 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
7569, 71, 743eqtrd 2808 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · (♯‘𝐽)))
7675oveq2d 6808 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
77 2cnd 11294 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → 2 ∈ ℂ)
785, 15syl5eqel 2853 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
79 hashcl 13348 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11554 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
8277, 81mulcld 10261 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
8382ad2antll 700 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
8458adantl 467 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
8561, 66addcld 10260 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
8685ad2antll 700 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
8783, 84, 86addassd 10263 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})))))
88 2cnd 11294 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 2 ∈ ℂ)
8981ad2antll 700 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
9061ad2antll 700 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
9188, 89, 90adddid 10265 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
9276, 87, 913eqtr4d 2814 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
9392adantr 466 . 2 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
9455, 93eqtrd 2804 1 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wnel 3045  wral 3060  {crab 3064  Vcvv 3349  cdif 3718  {csn 4314  cop 4320  dom cdm 5249  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  cc 10135   + caddc 10140   · cmul 10142  2c2 11271  0cn0 11493  chash 13320  Σcsu 14623  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  UPGraphcupgr 26195  VtxDegcvtxdg 26595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-xadd 12151  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-vtx 26096  df-iedg 26097  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-upgr 26197  df-vtxdg 26596
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  26679
  Copyright terms: Public domain W3C validator