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Theorem finminlem 32650
Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
finminlem.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
finminlem (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem finminlem
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 2181 . . . . 5 𝑥𝑥(𝑥𝑛𝜑)
2 nfcv 2911 . . . . 5 𝑥ω
31, 2nfrab 3270 . . . 4 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)}
4 nfcv 2911 . . . 4 𝑥
53, 4nfne 3041 . . 3 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅
6 isfi 8131 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
7 19.8a 2204 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑))
87anim2i 595 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
983impb 1105 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
10 breq2 4787 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
1110anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑚𝜑)))
1211exbidv 2000 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
1312elrab 3512 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
149, 13sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → 𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)})
15 ne0i 4066 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
17163exp 1110 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → (𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)))
1817rexlimiv 3173 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
196, 18sylbi 207 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
205, 19rexlimi 3170 . 2 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
21 epweon 7128 . . 3 E We On
22 ssrab2 3833 . . . 4 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ ω
23 omsson 7214 . . . 4 ω ⊆ On
2422, 23sstri 3758 . . 3 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On
25 wefrc 5242 . . 3 (( E We On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
2621, 24, 25mp3an12 1560 . 2 ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
27 nfv 1993 . . . . . . 7 𝑥 𝑚 ∈ ω
28 nfcv 2911 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚
293, 28nfin 3966 . . . . . . . 8 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚)
3029nfeq1 2925 . . . . . . 7 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅
3127, 30nfan 1978 . . . . . 6 𝑥(𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
32 simprr 810 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝜑)
33 sspss 3853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦 = 𝑥))
34 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
35 pssss 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝑥𝑦𝑥)
36 ssfi 8334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3735, 36sylan2 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3837ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
396, 38sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4140adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4241adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
43 isfi 8131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘)
44 simprll 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ω)
45 simprlr 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑘)
46 simplrr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝜓)
47 vex 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑦 ∈ V
48 breq1 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑘𝑦𝑘))
49 finminlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
5048, 49anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑘𝜑) ↔ (𝑦𝑘𝜓)))
5147, 50spcev 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦𝑘𝜓) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5245, 46, 51syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5334, 6sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → 𝑥 ∈ Fin)
5453adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝑥 ∈ Fin)
5554adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → 𝑥 ∈ Fin)
5655adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → 𝑥 ∈ Fin)
57 php3 8300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5857ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
60 vex 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑘 ∈ V
61 ssdomg 8153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ V → (𝑚𝑘𝑚𝑘))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚𝑘𝑚𝑘)
63 endomtr 8165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑚𝑚𝑘) → 𝑥𝑘)
6463ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥𝑚 → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6564ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6665ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
67 ensym 8156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦𝑘𝑘𝑦)
68 domentr 8166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑘𝑘𝑦) → 𝑥𝑦)
6967, 68sylan2 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → 𝑥𝑦)
7069expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦𝑘 → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7170ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7266, 71syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
7362, 72syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
74 domnsym 8240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑦𝑥)
7574con2i 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑦)
7673, 75nsyli 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7759, 76syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7877impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ¬ 𝑚𝑘)
79 nnord 7218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
8079ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑚)
81 nnord 7218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
8281adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) → Ord 𝑘)
8382ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑘)
84 ordtri1 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑚𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑚))
8584con2bid 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8680, 83, 85syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8778, 86mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘𝑚)
8844, 52, 87jca31 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
89 elin 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚))
90 breq2 4787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛𝑥𝑘))
9190anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑘𝜑)))
9291exbidv 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9392elrab 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9493anbi1i 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9589, 94bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9688, 95sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚))
97 ne0i 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)
9998exp44 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑘 ∈ ω → (𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))))
10099rexlimdv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10143, 100syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
102101com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → (𝑦 ∈ Fin → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10342, 102mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))
104103necon2bd 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥))
105104ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ω → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥)))
106105com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ω → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)))
107106imp31 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ¬ 𝑦𝑥)
108107pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
109 equcomi 2100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
111108, 110jaod 394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ((𝑦𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
11233, 111syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
113112expr 641 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜓 → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦)))
114113com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥 → (𝜓𝑥 = 𝑦)))
115114impd 445 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
116115alrimiv 2005 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
11732, 116jca 556 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
118117ex 448 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → ((𝑥𝑚𝜑) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
11931, 118eximd 2239 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → (∃𝑥(𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
120119impancom 456 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
12113, 120sylbi 207 . . 3 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
122121rexlimiv 3173 . 2 (∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
12320, 26, 1223syl 18 1 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1069  wal 1627   = wceq 1629  wex 1850  wcel 2143  wne 2941  wrex 3060  {crab 3063  Vcvv 3348  cin 3719  wss 3720  wpss 3721  c0 4060   class class class wbr 4783   E cep 5160   We wwe 5206  Ord word 5864  Oncon0 5865  ωcom 7210  cen 8104  cdom 8105  csdm 8106  Fincfn 8107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7211  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111
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