MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finlocfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finlocfin 21545
Description: A finite cover of a topological space is a locally finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
finlocfin.1 𝑋 = 𝐽
finlocfin.2 𝑌 = 𝐴
Assertion
Ref Expression
finlocfin ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))

Proof of Theorem finlocfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
2 simp3 1133 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
3 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4 finlocfin.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
54topopn 20933 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
63, 5syl 17 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝐽)
7 simpr 479 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
8 simpl2 1230 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
9 ssrab2 3828 . . . . 5 {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
10 ssfi 8347 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
118, 9, 10sylancl 697 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
12 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑥𝑛𝑥𝑋))
13 ineq2 3951 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑋 → (𝑠𝑛) = (𝑠𝑋))
1413neeq1d 2991 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑋 → ((𝑠𝑛) ≠ ∅ ↔ (𝑠𝑋) ≠ ∅))
1514rabbidv 3329 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑋 → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} = {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅})
1615eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
1712, 16anbi12d 749 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑥𝑋 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
1817rspcev 3449 . . . 4 ((𝑋𝐽 ∧ (𝑥𝑋 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
196, 7, 11, 18syl12anc 1475 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2019ralrimiva 3104 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∀𝑥𝑋𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
21 finlocfin.2 . . 3 𝑌 = 𝐴
224, 21islocfin 21542 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
231, 2, 20, 22syl3anbrc 1429 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cin 3714  wss 3715  c0 4058   cuni 4588  cfv 6049  Fincfn 8123  Topctop 20920  LocFinclocfin 21529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-top 20921  df-locfin 21532
This theorem is referenced by:  locfincmp  21551  cmppcmp  30255
  Copyright terms: Public domain W3C validator