Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finiunmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finiunmbl 23532
 Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3287 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2 iuneq1 4668 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
32eleq1d 2835 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
41, 3imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5 raleq 3287 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6 iuneq1 4668 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘𝑥 𝐵)
76eleq1d 2835 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
85, 7imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9 raleq 3287 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10 iuneq1 4668 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
1110eleq1d 2835 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
129, 11imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13 raleq 3287 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14 iuneq1 4668 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘𝐴 𝐵)
1514eleq1d 2835 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
1613, 15imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17 0iun 4711 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18 0mbl 23527 . . . . 5 ∅ ∈ dom vol
1917, 18eqeltri 2846 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
2019a1i 11 . . 3 (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21 ssun1 3927 . . . . . . 7 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22 ssralv 3815 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
2423imim1i 63 . . . . 5 ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25 ssun2 3928 . . . . . . 7 {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26 ssralv 3815 . . . . . . 7 ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28 iunxun 4739 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
30 csbeq1 3685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧𝑥 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
3130eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol))
3229, 31ralsn 4360 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
33 nfv 1995 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
3534nfel1 2928 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol
36 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
3736eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol))
3833, 35, 37cbvral 3316 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
39 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
4039, 34, 36cbviun 4691 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵
4129, 30iunxsn 4737 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵
4240, 41eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵
4342eleq1i 2841 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
4432, 38, 433bitr4i 292 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45 unmbl 23525 . . . . . . . . 9 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
4644, 45sylan2b 581 . . . . . . . 8 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
4728, 46syl5eqel 2854 . . . . . . 7 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
4847expcom 398 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → ( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
4927, 48syl 17 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
5024, 49sylcom 30 . . . 4 ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
5150a1i 11 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 8356 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5352imp 393 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ⦋csb 3682   ∪ cun 3721   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  {csn 4316  ∪ ciun 4654  dom cdm 5249  Fincfn 8109  volcvol 23451 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-xmet 19954  df-met 19955  df-ovol 23452  df-vol 23453 This theorem is referenced by:  volfiniun  23535  iunmbl  23541  volsup  23544  iunmbl2  23545  uniioovol  23567  uniioombllem4  23574  uniioombllem5  23575  dyadmbl  23588  i1fima  23665  i1fd  23668  i1fadd  23682  i1fmul  23683  volfiniune  30633  volsupnfl  33787  itg2addnclem2  33794  ftc1anclem6  33822
 Copyright terms: Public domain W3C validator