MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fineqvlem 8331
Description: Lemma for fineqv 8332. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqvlem ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem fineqvlem
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4991 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 472 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 pwexg 4991 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
5 ssrab2 3820 . . . . 5 {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴
6 elpw2g 4968 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ V → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴))
72, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ⊆ 𝒫 𝐴))
85, 7mpbiri 248 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴)
98a1d 25 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑏 ∈ ω → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∈ 𝒫 𝒫 𝐴))
10 isinf 8330 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ ω ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
1110r19.21bi 3062 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ ω) → ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
1211ad2ant2lr 801 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏))
13 selpw 4301 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝐴)
1413biimpri 218 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐴𝑒 ∈ 𝒫 𝐴)
1514anim1i 593 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝐴𝑒𝑏) → (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑏))
16 breq1 4799 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑏𝑒𝑏))
1716elrab 3496 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑏))
1815, 17sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑒𝐴𝑒𝑏) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
1918eximi 1903 . . . . . . 7 (∃𝑒(𝑒𝐴𝑒𝑏) → ∃𝑒 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
2012, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ∃𝑒 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏})
21 eleq2 2820 . . . . . . . . 9 ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ↔ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2221biimpcd 239 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2322adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}))
2417simprbi 483 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → 𝑒𝑏)
25 breq1 4799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑐𝑒𝑐))
2625elrab 3496 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐴𝑒𝑐))
2726simprbi 483 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑒𝑐)
28 ensym 8162 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝑏𝑏𝑒)
29 entr 8165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑒𝑒𝑐) → 𝑏𝑐)
3028, 29sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝑏𝑒𝑐) → 𝑏𝑐)
3124, 27, 30syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐}) → 𝑏𝑐)
3231ex 449 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏𝑐))
3332adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏𝑐))
34 nneneq 8300 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3534biimpd 219 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3635ad2antlr 765 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → (𝑏𝑐𝑏 = 𝑐))
3723, 33, 363syld 60 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏}) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏 = 𝑐))
3820, 37exlimddv 2004 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} → 𝑏 = 𝑐))
39 breq2 4800 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑑𝑏𝑑𝑐))
4039rabbidv 3321 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐})
4138, 40impbid1 215 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ 𝑏 = 𝑐))
4241ex 449 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → ({𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑏} = {𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝑐} ↔ 𝑏 = 𝑐)))
439, 42dom2d 8154 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
444, 43mpd 15 1 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wex 1845  wcel 2131  {crab 3046  Vcvv 3332  wss 3707  𝒫 cpw 4294   class class class wbr 4796  ωcom 7222  cen 8110  cdom 8111  Fincfn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-om 7223  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  fineqv  8332  isfin1-2  9391
  Copyright terms: Public domain W3C validator