MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finacn 9072
Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
finacn (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8030 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
21adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
3 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
4 eldifsni 4455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
6 n0 4076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
75, 6sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
8 rexv 3369 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
97, 8sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
109ralrimiva 3114 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
112, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
12 eleq1 2837 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑔𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ac6sfi 8359 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1411, 13syldan 571 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
15 exsimpr 1946 . . . . . 6 (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1716ralrimiva 3114 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
18 vex 3352 . . . . 5 𝑥 ∈ V
19 isacn 9066 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2018, 19mpan 662 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2117, 20mpbird 247 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥AC 𝐴)
2218a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
2321, 222thd 255 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴𝑥 ∈ V))
2423eqrdv 2768 1 (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  Vcvv 3349  cdif 3718  c0 4061  𝒫 cpw 4295  {csn 4314  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  AC wacn 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-fin 8112  df-acn 8967
This theorem is referenced by:  acndom  9073
  Copyright terms: Public domain W3C validator