Theorem fin56 9399

Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin56	⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
2		sdom2en01 9308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2𝑜 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
3	1, 2	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2𝑜)
4	3	orcd 406	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5		onfin2 8309	. . . . . . . 8 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3768	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ Fin
8		2onn 7881	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
9	7, 8	sselii 3733	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
10		relsdom 8120	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelexi 5307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		fidomtri 9001	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
13	9, 11, 12	sylancr 698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
14		xp2cda 9186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
16	15	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
17		xpdom2g 8213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18	11, 17	sylan 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	16, 18	eqbrtrrd 4820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		sdomdomtr 8250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
21	19, 20	syldan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
22	21	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜 ≼ 𝐴 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
23	13, 22	sylbird 250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2𝑜 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24	23	orrd 392	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
25	4, 24	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26		isfin5 9305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
27		isfin6 9306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜 ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
28	25, 26, 27	3imtr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332   ∩ cin 3706  ∅c0 4050   class class class wbr 4796   × cxp 5256  Oncon0 5876  (class class class)co 6805  ωcom 7222  1_𝑜c1o 7714  2_𝑜c2o 7715   ≈ cen 8110   ≼ cdom 8111   ≺ csdm 8112  Fincfn 8113   +_𝑐 ccda 9173  Fin^Vcfin5 9288  Fin^VIcfin6 9289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1o 7721  df-2o 7722  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-fin5 9295  df-fin6 9296

This theorem is referenced by:  fin2so  33701