MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 9399
Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 399 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
2 sdom2en01 9308 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2𝑜 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
31, 2sylibr 224 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2𝑜)
43orcd 406 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 8309 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 3969 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 3768 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 7881 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
97, 8sselii 3733 . . . . . 6 2𝑜 ∈ Fin
10 relsdom 8120 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelexi 5307 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 9001 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
139, 11, 12sylancr 698 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
14 xp2cda 9186 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
1615adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
17 xpdom2g 8213 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1811, 17sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1916, 18eqbrtrrd 4820 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20 sdomdomtr 8250 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2119, 20syldan 488 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2221ex 449 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2313, 22sylbird 250 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2423orrd 392 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
254, 24jaoi 393 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26 isfin5 9305 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
27 isfin6 9306 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2825, 26, 273imtr4i 281 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  cin 3706  c0 4050   class class class wbr 4796   × cxp 5256  Oncon0 5876  (class class class)co 6805  ωcom 7222  1𝑜c1o 7714  2𝑜c2o 7715  cen 8110  cdom 8111  csdm 8112  Fincfn 8113   +𝑐 ccda 9173  FinVcfin5 9288  FinVIcfin6 9289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1o 7721  df-2o 7722  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-fin5 9295  df-fin6 9296
This theorem is referenced by:  fin2so  33701
  Copyright terms: Public domain W3C validator