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Theorem fin4en1 9169
Description: Dedekind finite is a cardinal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin4en1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))

Proof of Theorem fin4en1
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8046 . 2 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 8006 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
3 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
4 f1of1 6174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
5 pssss 3735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
6 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵𝐵
75, 6jctir 560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
8 f1imapss 6563 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝐵𝐵)) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
94, 7, 8syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
103, 9mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵))
11 imadmrn 5511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
12 f1odm 6179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = 𝐵)
1312imaeq2d 5501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓𝐵))
14 dff1o5 6184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ ran 𝑓 = 𝐴))
1514simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
1611, 13, 153eqtr3a 2709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1817psseq2d 3733 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴))
1910, 18mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
2019adantrr 753 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
21 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
2221f1imaen 8059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
234, 5, 22syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
2423adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
25 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
26 entr 8049 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓𝑥) ≈ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
2724, 25, 26syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
28 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
29 f1oen3g 8013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐵𝐴)
3028, 29mpan 706 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐵𝐴)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝐵𝐴)
32 entr 8049 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑥) ≈ 𝐵𝐵𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
3327, 31, 32syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
34 fin4i 9158 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) ⊊ 𝐴 ∧ (𝑓𝑥) ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3520, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3635ex 449 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ((𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3736exlimdv 1901 . . . . . 6 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3837con2d 129 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
3938exlimiv 1898 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
402, 39sylbi 207 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
41 relen 8002 . . . . 5 Rel ≈
4241brrelexi 5192 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
43 isfin4 9157 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4442, 43syl 17 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4540, 44sylibrd 249 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
461, 45syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  wpss 3608   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cen 7994  FinIVcfin4 9140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-fin4 9147
This theorem is referenced by:  domfin4  9171  isfin4-3  9175
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