MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin45 9199
Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin45 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45
StepHypRef Expression
1 isfin4-3 9122 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
2 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
3 relen 7945 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≈
43brrelexi 5148 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
6 0sdomg 8074 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
82, 7mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
9 0sdom1dom 8143 . . . . . . . 8 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
108, 9sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 1𝑜𝐴)
11 cdadom2 8994 . . . . . . 7 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
13 domen2 8088 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
1413adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
1512, 14mpbird 247 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
16 domnsym 8071 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1817con2i 134 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
191, 18sylbi 207 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
20 isfin5-2 9198 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))
2119, 20mpbird 247 1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  c0 3907   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  1𝑜c1o 7538  cen 7937  cdom 7938  csdm 7939   +𝑐 ccda 8974  FinIVcfin4 9087  FinVcfin5 9089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-cda 8975  df-fin4 9094  df-fin5 9096
This theorem is referenced by:  fin2so  33367
  Copyright terms: Public domain W3C validator