MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin41 9251
Description: Under countable choice, the IV-finite sets (Dedekind-finite) coincide with I-finite (finite in the usual sense) sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin41 FinIV = Fin

Proof of Theorem fin41
StepHypRef Expression
1 vex 3198 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21domtriom 9250 . . . 4 (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω)
32con2bii 347 . . 3 (𝑥 ≺ ω ↔ ¬ ω ≼ 𝑥)
4 isfinite 8534 . . 3 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ≺ ω)
5 isfin4-2 9121 . . . 4 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝑥))
61, 5ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝑥)
73, 4, 63bitr4ri 293 . 2 (𝑥 ∈ FinIV𝑥 ∈ Fin)
87eqriv 2617 1 FinIV = Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  ωcom 7050  cdom 7938  csdm 7939  Fincfn 7940  FinIVcfin4 9087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-fin4 9094
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator