MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem23 9350
Description: Lemma for fin23lem22 9351. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem23 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆

Proof of Theorem fin23lem23
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem26 9349 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
2 ensym 8158 . . . . . 6 ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖𝑖 ≈ (𝑎𝑆))
3 entr 8161 . . . . . 6 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖𝑖 ≈ (𝑎𝑆)) → (𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆))
42, 3sylan2 580 . . . . 5 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → (𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆))
5 simpl 468 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
6 simprl 754 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑗𝑆)
75, 6sseldd 3753 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑗 ∈ ω)
8 nnfi 8309 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ω → 𝑗 ∈ Fin)
9 inss1 3981 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑆) ⊆ 𝑗
10 ssfi 8336 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ Fin ∧ (𝑗𝑆) ⊆ 𝑗) → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
118, 9, 10sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
13 simprr 756 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑎𝑆)
145, 13sseldd 3753 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑎 ∈ ω)
15 nnfi 8309 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ Fin)
16 inss1 3981 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎
17 ssfi 8336 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎) → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ω → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
1914, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
20 nnord 7220 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ω → Ord 𝑗)
21 nnord 7220 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ω → Ord 𝑎)
22 ordtri2or2 5966 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝑗 ∧ Ord 𝑎) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
2320, 21, 22syl2an 583 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
247, 14, 23syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
25 ssrin 3986 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑎 → (𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆))
26 ssrin 3986 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑗 → (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆))
2725, 26orim12i 894 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑎𝑎𝑗) → ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆)))
2824, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆)))
29 fin23lem25 9348 . . . . . . 7 (((𝑗𝑆) ∈ Fin ∧ (𝑎𝑆) ∈ Fin ∧ ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆))) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆)))
3012, 19, 28, 29syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆)))
31 ordom 7221 . . . . . . 7 Ord ω
32 fin23lem24 9346 . . . . . . 7 (((Ord ω ∧ 𝑆 ⊆ ω) ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) = (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
3331, 32mpanl1 680 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) = (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
3430, 33bitrd 268 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
354, 34syl5ib 234 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
3635ralrimivva 3120 . . 3 (𝑆 ⊆ ω → ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
3736ad2antrr 705 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
38 ineq1 3958 . . . 4 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆))
3938breq1d 4796 . . 3 (𝑗 = 𝑎 → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
4039reu4 3552 . 2 (∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎)))
411, 37, 40sylanbrc 572 1 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  cin 3722  wss 3723   class class class wbr 4786  Ord word 5865  ωcom 7212  cen 8106  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113
This theorem is referenced by:  fin23lem22  9351  fin23lem27  9352
  Copyright terms: Public domain W3C validator