Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem14 9347
 Description: Lemma for fin23 9403. 𝑈 will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
Assertion
Ref Expression
fin23lem14 ((𝐴 ∈ ω ∧ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem14
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (𝑈𝑎) = (𝑈‘∅))
21neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘∅) ≠ ∅))
32imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = ∅ → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)))
4 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑈𝑎) = (𝑈𝑏))
54neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑏) ≠ ∅))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑏) ≠ ∅)))
7 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝑈𝑎) = (𝑈‘suc 𝑏))
87neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = suc 𝑏 → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
10 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑈𝑎) = (𝑈𝐴))
1110neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝐴) ≠ ∅))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝐴) ≠ ∅)))
13 vex 3343 . . . . . . 7 𝑡 ∈ V
1413rnex 7265 . . . . . 6 ran 𝑡 ∈ V
1514uniex 7118 . . . . 5 ran 𝑡 ∈ V
16 fin23lem.a . . . . . 6 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
1716seqom0g 7720 . . . . 5 ( ran 𝑡 ∈ V → (𝑈‘∅) = ran 𝑡)
1815, 17mp1i 13 . . . 4 ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) = ran 𝑡)
19 id 22 . . . 4 ( ran 𝑡 ≠ ∅ → ran 𝑡 ≠ ∅)
2018, 19eqnetrd 2999 . . 3 ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)
2116fin23lem12 9345 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))))
2221adantr 472 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))))
23 iftrue 4236 . . . . . . . . 9 (((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = (𝑈𝑏))
2423adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = (𝑈𝑏))
25 simprr 813 . . . . . . . 8 ((((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → (𝑈𝑏) ≠ ∅)
2624, 25eqnetrd 2999 . . . . . . 7 ((((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) ≠ ∅)
27 iffalse 4239 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)))
2827adantr 472 . . . . . . . 8 ((¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)))
29 df-ne 2933 . . . . . . . . . 10 (((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) ≠ ∅ ↔ ¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅)
3029biimpri 218 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ → ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) ≠ ∅)
3130adantr 472 . . . . . . . 8 ((¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) ≠ ∅)
3228, 31eqnetrd 2999 . . . . . . 7 ((¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) ≠ ∅)
3326, 32pm2.61ian 866 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) ≠ ∅)
3422, 33eqnetrd 2999 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)
3534ex 449 . . . 4 (𝑏 ∈ ω → ((𝑈𝑏) ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
3635imim2d 57 . . 3 (𝑏 ∈ ω → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑏) ≠ ∅) → ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
373, 6, 9, 12, 20, 36finds 7257 . 2 (𝐴 ∈ ω → ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝐴) ≠ ∅))
3837imp 444 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  ifcif 4230  ∪ cuni 4588  ran crn 5267  suc csuc 5886  ‘cfv 6049   ↦ cmpt2 6815  ωcom 7230  seq𝜔cseqom 7711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seqom 7712 This theorem is referenced by:  fin23lem21  9353
 Copyright terms: Public domain W3C validator