MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem14 9347
Description: Lemma for fin23 9403. 𝑈 will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
Assertion
Ref Expression
fin23lem14 ((𝐴 ∈ ω ∧ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem14
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (𝑈𝑎) = (𝑈‘∅))
21neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘∅) ≠ ∅))
32imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = ∅ → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)))
4 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑈𝑎) = (𝑈𝑏))
54neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑏) ≠ ∅))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑏) ≠ ∅)))
7 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝑈𝑎) = (𝑈‘suc 𝑏))
87neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = suc 𝑏 → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
10 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑈𝑎) = (𝑈𝐴))
1110neeq1d 2991 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑈𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝐴) ≠ ∅))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑎) ≠ ∅) ↔ ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝐴) ≠ ∅)))
13 vex 3343 . . . . . . 7 𝑡 ∈ V
1413rnex 7265 . . . . . 6 ran 𝑡 ∈ V
1514uniex 7118 . . . . 5 ran 𝑡 ∈ V
16 fin23lem.a . . . . . 6 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
1716seqom0g 7720 . . . . 5 ( ran 𝑡 ∈ V → (𝑈‘∅) = ran 𝑡)
1815, 17mp1i 13 . . . 4 ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) = ran 𝑡)
19 id 22 . . . 4 ( ran 𝑡 ≠ ∅ → ran 𝑡 ≠ ∅)
2018, 19eqnetrd 2999 . . 3 ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)
2116fin23lem12 9345 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))))
2221adantr 472 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))))
23 iftrue 4236 . . . . . . . . 9 (((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = (𝑈𝑏))
2423adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = (𝑈𝑏))
25 simprr 813 . . . . . . . 8 ((((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → (𝑈𝑏) ≠ ∅)
2624, 25eqnetrd 2999 . . . . . . 7 ((((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) ≠ ∅)
27 iffalse 4239 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)))
2827adantr 472 . . . . . . . 8 ((¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) = ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)))
29 df-ne 2933 . . . . . . . . . 10 (((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) ≠ ∅ ↔ ¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅)
3029biimpri 218 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ → ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) ≠ ∅)
3130adantr 472 . . . . . . . 8 ((¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) ≠ ∅)
3228, 31eqnetrd 2999 . . . . . . 7 ((¬ ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) ≠ ∅)
3326, 32pm2.61ian 866 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅) → if(((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏)) = ∅, (𝑈𝑏), ((𝑡𝑏) ∩ (𝑈𝑏))) ≠ ∅)
3422, 33eqnetrd 2999 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)
3534ex 449 . . . 4 (𝑏 ∈ ω → ((𝑈𝑏) ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
3635imim2d 57 . . 3 (𝑏 ∈ ω → (( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝑏) ≠ ∅) → ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
373, 6, 9, 12, 20, 36finds 7257 . 2 (𝐴 ∈ ω → ( ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈𝐴) ≠ ∅))
3837imp 444 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cin 3714  c0 4058  ifcif 4230   cuni 4588  ran crn 5267  suc csuc 5886  cfv 6049  cmpt2 6815  ωcom 7230  seq𝜔cseqom 7711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seqom 7712
This theorem is referenced by:  fin23lem21  9353
  Copyright terms: Public domain W3C validator