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Theorem fin1aufil 21730
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) 𝑋, the set of infinite subsets of 𝑋 is a free ultrafilter on 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
Assertion
Ref Expression
fin1aufil (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
21eleq2i 2692 . . . . . 6 (𝑥𝐹𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
3 eldif 3582 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
4 selpw 4163 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
54anbi1i 731 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
62, 3, 53bitri 286 . . . . 5 (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
76a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)))
8 elex 3210 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ V)
9 eldifn 3731 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
10 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑋 ∈ Fin))
1110notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
1211sbcieg 3466 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ([𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
139, 12mpbird 247 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → [𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
14 0fin 8185 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
15 0ex 4788 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 eleq1 2688 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
1716notbid 308 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin))
1815, 17sbcie 3468 . . . . . . 7 ([∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin)
1918con2bii 347 . . . . . 6 (∅ ∈ Fin ↔ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
2014, 19mpbi 220 . . . . 5 ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin
2120a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
22 ssfi 8177 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
2322expcom 451 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
24233ad2ant3 1083 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
2524con3d 148 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ Fin → ¬ 𝑦 ∈ Fin))
26 vex 3201 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
27 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑧 ∈ Fin))
2827notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
2926, 28sbcie 3468 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin)
30 vex 3201 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
31 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑦 ∈ Fin))
3231notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin))
3330, 32sbcie 3468 . . . . 5 ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin)
3425, 29, 333imtr4g 285 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
35 eldifi 3730 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ FinIa)
36 fin1ai 9112 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ FinIa𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
3735, 36sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
38373adant3 1080 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
39 inundif 4044 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) = 𝑧
40 incom 3803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑦) = (𝑦𝑧)
41 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑦𝑧) ∈ Fin)
4240, 41syl5eqel 2704 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
43 simprr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑋𝑦) ∈ Fin)
44 simpl3 1065 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧𝑋)
4544ssdifd 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ⊆ (𝑋𝑦))
46 ssfi 8177 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧𝑦) ⊆ (𝑋𝑦)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
4743, 45, 46syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
48 unfi 8224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧𝑦) ∈ Fin) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
4942, 47, 48syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
5039, 49syl5eqelr 2705 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
5150expr 643 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑋𝑦) ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
5251orim2d 885 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5352ex 450 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))))
5438, 53mpid 44 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5554con3d 148 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) → ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
5633, 29anbi12i 733 . . . . . 6 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
57 ioran 511 . . . . . 6 (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
5856, 57bitr4i 267 . . . . 5 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))
5930inex1 4797 . . . . . 6 (𝑦𝑧) ∈ V
60 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ Fin ↔ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6160notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6259, 61sbcie 3468 . . . . 5 ([(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin)
6355, 58, 623imtr4g 285 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) → [(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
647, 8, 13, 21, 34, 63isfild 21656 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
659adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
66 unfi 8224 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin)
67 ssun2 3775 . . . . . . . . 9 𝑋 ⊆ (𝑥𝑋)
68 undif2 4042 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) = (𝑥𝑋)
6967, 68sseqtr4i 3636 . . . . . . . 8 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))
70 ssfi 8177 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))) → 𝑋 ∈ Fin)
7166, 69, 70sylancl 694 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
7265, 71nsyl 135 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
73 ianor 509 . . . . . 6 (¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
7472, 73sylib 208 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
75 elpwi 4166 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
7675adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥𝑋)
776baib 944 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
7876, 77syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
791eleq2i 2692 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
80 difss 3735 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
81 elpw2g 4825 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8281adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8380, 82mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
84 eldif 3582 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8584baib 944 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8683, 85syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8779, 86syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8878, 87orbi12d 746 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin)))
8974, 88mpbird 247 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
9089ralrimiva 2965 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
91 isufil 21701 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
9264, 90, 91sylanbrc 698 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
93 snfi 8035 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
94 eldifn 3731 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9594, 1eleq2s 2718 . . . . 5 ({𝑥} ∈ 𝐹 → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9693, 95mt2 191 . . . 4 ¬ {𝑥} ∈ 𝐹
97 uffixsn 21723 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9892, 97sylan 488 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9998ex 450 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 𝐹 → {𝑥} ∈ 𝐹))
10096, 99mtoi 190 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑥 𝐹)
101100eq0rdv 3977 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 = ∅)
10292, 101jca 554 1 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  [wsbc 3433  cdif 3569  cun 3570  cin 3571  wss 3572  c0 3913  𝒫 cpw 4156  {csn 4175   cint 4473  cfv 5886  Fincfn 7952  FinIacfin1a 9097  Filcfil 21643  UFilcufil 21697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-fin 7956  df-fin1a 9104  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-fil 21644  df-ufil 21699
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