Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2 9449
 Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin1a2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4312 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
2 fin1ai 9327 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin))
3 fin12 9447 . . . . . 6 ((𝐴𝑏) ∈ Fin → (𝐴𝑏) ∈ FinII)
43orim2i 541 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
52, 4syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
61, 5sylan2 492 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
76ralrimiva 3104 . 2 (𝐴 ∈ FinIa → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
8 fin1a2s 9448 . 2 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
97, 8mpdan 705 1 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  Fincfn 8123  FinIacfin1a 9312  FinIIcfin2 9313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-rpss 7103  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-seqom 7713  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-wdom 8631  df-card 8975  df-fin1a 9319  df-fin2 9320  df-fin4 9321  df-fin3 9322 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator