MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin17 9439
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin17
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3739 . . . . 5 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2 enfi 8353 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ Fin))
3 onfin 8328 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ On → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
42, 3sylan9bbr 501 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑏 ∈ ω))
54biimpd 220 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑏 ∈ ω))
65con3d 149 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝐴𝑏) → (¬ 𝑏 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
76impancom 440 . . . . 5 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
81, 7sylbi 208 . . . 4 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → (𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
98rexlimiv 3179 . . 3 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
109con2i 136 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
11 isfin7 9346 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
1210, 11mpbird 248 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wcel 2148  wrex 3065  cdif 3726   class class class wbr 4797  Oncon0 5877  ωcom 7233  cen 8127  Fincfn 8130  FinVIIcfin7 9329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-br 4798  df-opab 4860  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-om 7234  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fin7 9336
This theorem is referenced by:  fin67  9440  isfin7-2  9441
  Copyright terms: Public domain W3C validator