MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiming Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiming 8572
Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiming ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiming
StepHypRef Expression
1 fimin2g 8571 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2 nesym 2989 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑥)
32imbi1i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
4 pm4.64 386 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
53, 4bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
6 sotric 5214 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
76ancom2s 879 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
87con2bid 343 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
95, 8syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
109anassrs 683 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1110ralbidva 3124 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211rexbidva 3188 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13123ad2ant1 1128 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
141, 13mpbird 247 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  wrex 3052  c0 4059   class class class wbr 4805   Or wor 5187  Fincfn 8124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-om 7233  df-1o 7731  df-er 7914  df-en 8125  df-fin 8128
This theorem is referenced by:  fiinfg  8573
  Copyright terms: Public domain W3C validator