Theorem fimaxre4 39938

Description: A nonempty finite set of real numbers is bounded (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimaxre4.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fimaxre4.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fimaxre4.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre4	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fimaxre4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimaxre4.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fimaxre4.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fimaxre4.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ))
5	2, 4	ralrimi 2986	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
6		fimaxre3 11008	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
7	1, 5, 6	syl2anc 694	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  Fincfn 7997  ℝcr 9973   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118

This theorem is referenced by:  limsupubuzlem  40262