MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre 11160
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 10310 . . . 4 < Or ℝ
2 soss 5205 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
31, 2mpi 20 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4 fimaxg 8372 . . 3 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
53, 4syl3an1 1167 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
6 ssel 3738 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
7 ssel 3738 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
86, 7anim12d 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
98imp 444 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
10 leloe 10316 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
1110ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
12 equcom 2100 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
1312orbi2i 542 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦))
14 orcom 401 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
15 neor 3023 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
1613, 14, 153bitri 286 . . . . . . . . 9 ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
1711, 16syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1817biimprd 238 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
199, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2019anassrs 683 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2120ralimdva 3100 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221reximdva 3155 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
23223ad2ant1 1128 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
245, 23mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804   Or wor 5186  Fincfn 8121  cr 10127   < clt 10266  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272
This theorem is referenced by:  fimaxre2  11161  fiminre  11164  0ram2  15927  0ramcl  15929  prmgaplem3  15959  ballotlemfc0  30863  ballotlemfcc  30864  filbcmb  33848
  Copyright terms: Public domain W3C validator