Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxg 8367
 Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxg ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxg
StepHypRef Expression
1 fimax2g 8366 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
2 df-ne 2944 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
32imbi1i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
4 pm4.64 838 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
53, 4bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
6 sotric 5197 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥)))
76con2bid 343 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
85, 7syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
98anassrs 453 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
109ralbidva 3134 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1110rexbidva 3197 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
12113ad2ant1 1127 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
131, 12mpbird 247 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  ∅c0 4063   class class class wbr 4787   Or wor 5170  Fincfn 8113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-fin 8117 This theorem is referenced by:  fisupg  8368  fimaxre  11174
 Copyright terms: Public domain W3C validator