MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxg 8367
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxg ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxg
StepHypRef Expression
1 fimax2g 8366 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
2 df-ne 2944 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
32imbi1i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
4 pm4.64 838 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
53, 4bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
6 sotric 5197 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥)))
76con2bid 343 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
85, 7syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
98anassrs 453 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
109ralbidva 3134 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1110rexbidva 3197 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
12113ad2ant1 1127 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
131, 12mpbird 247 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  c0 4063   class class class wbr 4787   Or wor 5170  Fincfn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  fisupg  8368  fimaxre  11174
  Copyright terms: Public domain W3C validator