MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimacnv 6511
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5635 . . 3 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 5471 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 6212 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 ssid 3765 . . . . 5 𝐴𝐴
53, 4syl6eqss 3796 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹𝐴)
62, 5syl5eqssr 3791 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐴)
71, 6syl5ss 3755 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴)
8 imassrn 5635 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
9 frn 6214 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
108, 9syl5ss 3755 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
11 ffun 6209 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
124, 3syl5sseqr 3795 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 funimass3 6497 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1411, 12, 13syl2anc 696 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1510, 14mpbid 222 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵))
167, 15eqssd 3761 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wss 3715  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057
This theorem is referenced by:  fimacnvinrn  6512  fmpt  6545  frnsuppeq  7476  fin1a2lem7  9440  cnclima  21294  iscncl  21295  cnindis  21318  cncmp  21417  ptrescn  21664  qtopuni  21727  qtopcld  21738  qtopcmap  21744  ordthmeolem  21826  rnelfmlem  21977  mbfdm  23614  ismbf  23616  mbfimaicc  23619  ismbf2d  23627  ismbf3d  23640  mbfimaopn2  23643  i1fd  23667  plyeq0  24186  fsumcvg4  30326  zrhunitpreima  30352  imambfm  30654  carsggect  30710  dstrvprob  30863  poimirlem30  33770  dvtan  33791  smfresal  41519
  Copyright terms: Public domain W3C validator