MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filelss 21703
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 21699 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbelss 21684 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
31, 2sylan 487 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  wss 3607  cfv 5926  fBascfbas 19782  Filcfil 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-fbas 19791  df-fil 21697
This theorem is referenced by:  filin  21705  filtop  21706  filuni  21736  trfil2  21738  trfil3  21739  fgtr  21741  trfg  21742  ufilmax  21758  isufil2  21759  ufileu  21770  filufint  21771  cfinufil  21779  ufilen  21781  rnelfm  21804  fmfnfmlem4  21808  fmid  21811  flimclsi  21829  flimrest  21834  txflf  21857  fclsopn  21865  fclsrest  21875  flimfnfcls  21879  fclscmpi  21880  iscfil2  23110  cfil3i  23113  iscmet3lem2  23136  iscmet3  23137  cfilresi  23139  cfilres  23140  filnetlem3  32500
  Copyright terms: Public domain W3C validator