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Theorem filbcmb 33206
Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
filbcmb ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem filbcmb
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9987 . . . . 5 ℝ ∈ V
21ssex 4772 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
3 indexfi 8234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)))
433expia 1264 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
52, 4sylan2 491 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
653adant2 1078 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))))
7 r19.2z 4038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
8 rexn0 4052 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
98rexlimivw 3024 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅)
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → 𝑤 ≠ ∅)
1110ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
12113ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
1312ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝑤 ≠ ∅))
14 sstr 3596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑤 ⊆ ℝ)
1514ancoms 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤 ⊆ ℝ)
16 fimaxre 10928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)
17163expia 1264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1815, 17sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
1918anasss 678 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑤 ∈ Fin)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2019ancom2s 843 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
21203ad2antl3 1223 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐵)) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2221anassrs 679 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑤 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2313, 22syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
2423a1dd 50 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦)))
2524ex 450 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))))
26253impd 1278 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦))
27 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
28 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴
29 nfre1 3001 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3028, 29nfral 2941 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3127, 30nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
32 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵)
33 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝐴
34 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑤
35 nfra1 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3634, 35nfrex 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3733, 36nfral 2941 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)
3832, 37nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))
39 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧(𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)
4038, 39nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧(((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦))
41 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦𝑧𝑣𝑧))
4241imbi1d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑦𝑧𝜑) ↔ (𝑣𝑧𝜑)))
4342ralbidv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑)))
4443cbvrexv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ↔ ∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑))
45 rsp 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → (𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)))
46 ssel2 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑣𝑤) → 𝑣𝐵)
47 ssel2 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
4846, 47sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑣𝑤)) → 𝑣 ∈ ℝ)
4948anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5049adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
5150adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ℝ)
52 ssel2 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤𝐵𝑦𝑤) → 𝑦𝐵)
53 ssel2 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
5452, 53sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ (𝑤𝐵𝑦𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5554anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
5655adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5756ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ)
58 ssel2 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
5958adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
6059ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
62 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢𝑦𝑣𝑦))
6362rspccva 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑢𝑤 𝑢𝑦𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6463adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6564adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
6665adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑦)
67 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑦𝑧)
6851, 57, 61, 66, 67letrd 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑧)
69 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝐵 → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐵𝑦𝑧) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7170ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → (𝑣𝑧𝜑)))
7268, 71mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑧𝐵 → (𝑣𝑧𝜑)) → 𝜑))
7345, 72syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7473adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑣𝑤) → (∀𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7574rexlimdva 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑣𝑤𝑧𝐵 (𝑣𝑧𝜑) → 𝜑))
7644, 75syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → 𝜑))
7776ralimdva 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∀𝑥𝐴 𝜑))
7877imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
7978an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑧𝐵𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
8079exp32 630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8180an32s 845 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → (𝑧𝐵 → (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8240, 81ralrimi 2953 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ∀𝑢𝑤 𝑢𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))
8382exp32 630 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (𝑦𝑤 → (∀𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∀𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
8431, 83reximdai 3008 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8584adantrr 752 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
86 ssrexv 3652 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐵 → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8786ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8885, 87syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐵) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑))) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
8988exp43 639 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ → (𝑤𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))))
90893impd 1278 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
91903ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9291adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → (∃𝑦𝑤𝑢𝑤 𝑢𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑))))
9326, 92mpdd 43 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ Fin) → ((𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
9493rexlimdva 3026 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∃𝑤 ∈ Fin (𝑤𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑤𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) ∧ ∀𝑦𝑤𝑥𝐴𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑)) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
956, 94syld 47 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝜑) → ∃𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦𝑧 → ∀𝑥𝐴 𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  wss 3560  c0 3897   class class class wbr 4623  Fincfn 7915  cr 9895  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-om 7028  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
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