Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinopn 20925
 Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fiinopn (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))

Proof of Theorem fiinopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwg 4303 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽𝐴𝐽))
2 sseq1 3773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐽𝐴𝐽))
3 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4 eleq1 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
52, 3, 43anbi123d 1546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6 inteq 4612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
76eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥𝐽 𝐴𝐽))
87imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
95, 8imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽)) ↔ ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
10 sp 2206 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
1110adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
12 istop2g 20920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))))
1312ibi 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)))
1411, 13syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽))
159, 14vtoclg 3415 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
1615com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
17163exp 1111 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1817com3r 87 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1918com4r 94 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
201, 19syl6bir 244 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))))
2120pm2.43a 54 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2221com4l 92 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2322pm2.43i 52 . . 3 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
24233imp 1100 . 2 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))
2524com12 32 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070  ∀wal 1628   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  𝒫 cpw 4295  ∪ cuni 4572  ∩ cint 4609  Fincfn 8108  Topctop 20917 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-fin 8112  df-top 20918 This theorem is referenced by:  iinopn  20926  hauscmplem  21429  1stcfb  21468  txtube  21663
 Copyright terms: Public domain W3C validator