MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomtri2 8858
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem fidomtri2
StepHypRef Expression
1 domnsym 8127 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2 sdomdom 8025 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
32con3i 150 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
4 fidomtri 8857 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
54ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
63, 5syl5ibr 236 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
7 ensym 8046 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
8 endom 8024 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
109con3i 150 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
126, 11jcad 554 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵 → (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)))
13 brsdom 8020 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
1412, 13syl6ibr 242 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
1514con1d 139 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
161, 15impbid2 216 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9489  gchcda1  9516  frgpcyg  19970
  Copyright terms: Public domain W3C validator