MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrnglem 19528
Description: Lemma for fidomndrng 19529. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z 0 = (0g𝑅)
fidomndrng.o 1 = (1r𝑅)
fidomndrng.d = (∥r𝑅)
fidomndrng.t · = (.r𝑅)
fidomndrng.r (𝜑𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fidomndrnglem (𝜑𝐴 1 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
21eldifad 3727 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴0 )
54ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝐴0 )
6 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7 fidomndrng.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8 ovex 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
1110eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12 fidomndrng.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐴𝐵)
16 fidomndrng.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑅)
17 fidomndrng.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑅)
18 fidomndrng.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑅)
1916, 17, 18domneq0 19519 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦𝐵𝐴𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2013, 14, 15, 19syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2111, 20bitrd 268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2221biimpa 502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2322ord 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2423necon1ad 2949 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝐴0𝑦 = 0 ))
255, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
2625ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
2726ralrimiva 3104 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
28 domnring 19518 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3016, 17ringrghm 18825 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3129, 2, 30syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
327, 31syl5eqel 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3316, 16, 18, 18ghmf1 17910 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3527, 34mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵1-1𝐵)
36 fidomndrng.x . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
37 enrefg 8155 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵𝐵)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
39 f1finf1o 8354 . . . . . . 7 ((𝐵𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4038, 36, 39syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4135, 40mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
42 f1ocnv 6311 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
43 f1of 6299 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
4441, 42, 433syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵𝐵)
45 fidomndrng.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
4616, 45ringidcl 18788 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
4729, 46syl 17 . . . 4 (𝜑1𝐵)
4844, 47ffvelrnd 6524 . . 3 (𝜑 → (𝐹1 ) ∈ 𝐵)
49 fidomndrng.d . . . 4 = (∥r𝑅)
5016, 49, 17dvdsrmul 18868 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐹1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
512, 48, 50syl2anc 696 . 2 (𝜑𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
52 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
536cbvmptv 4902 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
547, 53eqtri 2782 . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55 ovex 6842 . . . . 5 ((𝐹1 ) · 𝐴) ∈ V
5652, 54, 55fvmpt 6445 . . . 4 ((𝐹1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
5748, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
58 f1ocnvfv2 6697 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵1𝐵) → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
5941, 47, 58syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
6057, 59eqtr3d 2796 . 2 (𝜑 → ((𝐹1 ) · 𝐴) = 1 )
6151, 60breqtrd 4830 1 (𝜑𝐴 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cdif 3712  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  wf 6045  1-1wf1 6046  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  cen 8120  Fincfn 8123  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  0gc0g 16322   GrpHom cghm 17878  1rcur 18721  Ringcrg 18767  rcdsr 18858  Domncdomn 19502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-dvdsr 18861  df-nzr 19480  df-domn 19506
This theorem is referenced by:  fidomndrng  19529
  Copyright terms: Public domain W3C validator