MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ficardom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ficardom 8825
Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
ficardom (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8021 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
21biimpi 206 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
3 finnum 8812 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4 cardid2 8817 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6 entr 8049 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
75, 6sylan 487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8 cardon 8808 . . . . . . 7 (card‘𝐴) ∈ On
9 onomeneq 8191 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
108, 9mpan 706 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
117, 10syl5ib 234 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12 eleq1a 2725 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
1311, 12syld 47 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
1413expcomd 453 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
1514rexlimiv 3056 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
162, 15mpcom 38 1 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Oncon0 5761  cfv 5926  ωcom 7107  cen 7994  Fincfn 7997  cardccrd 8799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803
This theorem is referenced by:  cardnn  8827  isinffi  8856  finnisoeu  8974  iunfictbso  8975  ficardun  9062  ficardun2  9063  pwsdompw  9064  ackbij1lem5  9084  ackbij1lem9  9088  ackbij1lem10  9089  ackbij1lem14  9093  ackbij1b  9099  ackbij2lem2  9100  ackbij2  9103  fin23lem22  9187  fin1a2lem11  9270  domtriomlem  9302  pwfseqlem4a  9521  pwfseqlem4  9522  hashkf  13159  hashginv  13161  hashcard  13184  hashcl  13185  hashdom  13206  hashun  13209  ishashinf  13285  ackbijnn  14604  mreexexd  16355  mreexexdOLD  16356
  Copyright terms: Public domain W3C validator