Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fibp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fibp1 30793
Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fibp1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1
Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fib 30789 . . . 4 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6354 . . 3 (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
32a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4 nn0ex 11510 . . . 4 0 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6 0nn0 11519 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8 1nn0 11520 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
107, 9s2cld 13836 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11 eqid 2760 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12 fiblem 30790 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1312a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14 eluzp1p1 11925 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
15 nnuz 11936 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleq2s 2857 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
17 s2len 13854 . . . . . 6 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18 1p1e2 11346 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1917, 18eqtr4i 2785 . . . . 5 (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
2019fveq2i 6356 . . . 4 (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ‘(1 + 1))
2116, 20syl6eleqr 2850 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
225, 10, 11, 13, 21sseqp1 30787 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23 id 22 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡𝑤 = 𝑡)
24 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
2524oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
2623, 25fveq12d 6359 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
2724oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
2823, 27fveq12d 6359 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
2926, 28oveq12d 6832 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
3029cbvmptv 4902 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
3130a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32 simpr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
331a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
3433reseq1d 5550 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3532, 34eqtr4d 2797 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3736fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
385, 10, 11, 13sseqf 30784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
4039feq1d 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
4138, 40mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42 nnnn0 11511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4342, 9nn0addcld 11567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
445, 41, 43subiwrdlen 30778 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4544adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4637, 45eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
4746oveq1d 6829 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48 nncn 11240 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49 1cnd 10268 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50 2cnd 11305 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5148, 49, 50addsubassd 10624 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
5248, 50, 49subsub2d 10633 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53 2m1e1 11347 . . . . . . . . . . . 12 (2 − 1) = 1
5453oveq2i 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
5651, 52, 553eqtr2d 2800 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5756adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5847, 57eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
5958fveq2d 6357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
6036fveq1d 6355 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61 nnm1nn0 11546 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62 peano2nn 11244 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63 nnre 11239 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64 2re 11302 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6663, 65readdcld 10281 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67 1red 10267 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68 2rp 12050 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7063, 69ltaddrpd 12118 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
7163, 66, 67, 70ltsub1dd 10851 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
7248, 50, 49addsubassd 10624 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
7353oveq2i 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
7472, 73syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
7571, 74breqtrd 4830 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76 elfzo0 12723 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
7761, 62, 75, 76syl3anbrc 1429 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
7877adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79 fvres 6369 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8159, 60, 803eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8246oveq1d 6829 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8483nncnd 11248 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85 1cnd 10268 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85pncand 10605 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8782, 86eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
8887fveq2d 6357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
8936fveq1d 6355 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90 nn0fz0 12651 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9142, 90sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92 nnz 11611 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93 fzval3 12751 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9591, 94eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9695adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97 fvres 6369 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9896, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9988, 89, 983eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
10081, 99oveq12d 6832 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10135, 100syldan 488 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10239reseq1d 5550 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
1035, 41, 43subiwrd 30777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104 ovex 6842 . . . . . . . . 9 (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
1051, 104eqeltri 2835 . . . . . . . 8 Fibci ∈ V
106105resex 5601 . . . . . . 7 (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
10818fveq2i 6356 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
10916, 108syl6eleq 2849 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘2))
11044, 109eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))
111 hashf 13339 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112 ffn 6206 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113 elpreima 6501 . . . . . . 7 (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))))
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . 6 ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2)))
115107, 110, 114sylanbrc 701 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)))
116103, 115elind 3941 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))))
117102, 116eqeltrrd 2840 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))))
118 ovex 6842 . . . 4 ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119118a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
12031, 101, 117, 119fvmptd 6451 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
1213, 22, 1203eqtrd 2798 1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cun 3713  cin 3714  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  cres 5268  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  +∞cpnf 10283   < clt 10286  cmin 10478  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497  ⟨“cs2 13806  seqstrcsseq 30775  Fibcicfib 30788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-substr 13509  df-s2 13813  df-sseq 30776  df-fib 30789
This theorem is referenced by:  fib2  30794  fib3  30795  fib4  30796  fib5  30797  fib6  30798
  Copyright terms: Public domain W3C validator