Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiblem 30800
 Description: Lemma for fib0 30801, fib1 30802 and fibp1 30803. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fiblem (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem
StepHypRef Expression
1 s2len 13843 . . . . . . 7 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
21eqcomi 2780 . . . . . 6 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
32fveq2i 6335 . . . . 5 (ℤ‘2) = (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))
43imaeq2i 5605 . . . 4 (♯ “ (ℤ‘2)) = (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
54ineq2i 3962 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6 eqid 2771 . . 3 ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
75, 6mpteq12i 4876 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8 elin 3947 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
98simplbi 485 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10 wrdf 13506 . . . . 5 (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
128simprbi 484 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13 hashf 13329 . . . . . . . . . 10 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14 ffn 6185 . . . . . . . . . 10 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15 elpreima 6480 . . . . . . . . . 10 (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
1712, 16sylib 208 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
1817simprd 483 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
1918, 3syl6eleqr 2861 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘2))
20 uznn0sub 11921 . . . . . 6 ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22 1zzd 11610 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23 1p1e2 11336 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
2423fveq2i 6335 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
2519, 24syl6eleqr 2861 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
26 peano2uzr 11945 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
2722, 25, 26syl2anc 573 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
28 nnuz 11925 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2927, 28syl6eleqr 2861 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
3029nnred 11237 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31 2rp 12040 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
3330, 32ltsubrpd 12107 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34 elfzo0 12717 . . . . 5 (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
3521, 29, 33, 34syl3anbrc 1428 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3611, 35ffvelrnd 6503 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37 fzo0end 12768 . . . . 5 ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3829, 37syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3911, 38ffvelrnd 6503 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
4036, 39nn0addcld 11557 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
417, 40fmpti 6525 1 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∪ cun 3721   ∩ cin 3722  {csn 4316   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ◡ccnv 5248   “ cima 5252   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  +∞cpnf 10273   < clt 10276   − cmin 10468  ℕcn 11222  2c2 11272  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579  ℤ≥cuz 11888  ℝ+crp 12035  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487  ⟨“cs2 13795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802 This theorem is referenced by:  fib0  30801  fib1  30802  fibp1  30803
 Copyright terms: Public domain W3C validator