MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fibas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fibas 20983
Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fibas (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Proof of Theorem fibas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6362 . 2 (fi‘𝐴) ∈ V
2 fiin 8493 . . 3 ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
32rgen2a 3115 . 2 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4 fiinbas 20958 . 2 (((fi‘𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ∈ TopBases)
51, 3, 4mp2an 710 1 (fi‘𝐴) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  cin 3714  cfv 6049  ficfi 8481  TopBasesctb 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-fi 8482  df-bases 20952
This theorem is referenced by:  restbas  21164  ordttopon  21199  ordtopn1  21200  ordtopn2  21201  ordtrest2  21210  leordtval2  21218  2ndcsb  21454  ptbas  21584  xkotop  21593  alexsublem  22049  alexsub  22050  alexsubb  22051  alexsubALTlem3  22054  alexsubALTlem4  22055  alexsubALT  22056  ptcmplem1  22057  ordtrest2NEW  30278  topjoin  32666
  Copyright terms: Public domain W3C validator