Theorem fge0npnf 41087

Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then +∞ is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fge0npnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fge0npnf	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem fge0npnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0npnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2		frn 6214	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
4	3	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
6	4, 5	sseldd 3745	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ (0[,)+∞))
7		0xr 10278	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		icoub 40255	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
11	6, 10	pm2.65da 601	1 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ran crn 5267  ⟶wf 6045  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  ℝ^*cxr 10265  [,)cico 12370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-ico 12374

This theorem is referenced by:  sge0reval  41092  sge0fsum  41107