MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgcl 21729
Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcl (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))

Proof of Theorem fgcl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfg 21722 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑧)))
2 elfvex 6259 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 fbasne0 21681 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4 n0 3964 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐹)
53, 4sylib 208 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦 𝑦𝐹)
6 fbelss 21684 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
76ex 449 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦𝐹𝑦𝑋))
87ancld 575 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑦𝐹𝑦𝑋)))
98eximdv 1886 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∃𝑦 𝑦𝐹 → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋)))
105, 9mpd 15 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋))
11 df-rex 2947 . . . 4 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑋 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋))
1210, 11sylibr 224 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋)
13 elfvdm 6258 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
14 sseq2 3660 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 → (𝑦𝑧𝑦𝑋))
1514rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1615sbcieg 3501 . . . 4 (𝑋 ∈ dom fBas → ([𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1713, 16syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ([𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1812, 17mpbird 247 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → [𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧)
19 0nelfb 21682 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
20 0ex 4823 . . . . 5 ∅ ∈ V
21 sseq2 3660 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝑦𝑧𝑦 ⊆ ∅))
2221rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅))
2320, 22sbcie 3503 . . . 4 ([∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅)
24 ss0 4007 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ ∅ → 𝑦 = ∅)
2524eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ ∅ → (𝑦𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
2625biimpac 502 . . . . 5 ((𝑦𝐹𝑦 ⊆ ∅) → ∅ ∈ 𝐹)
2726rexlimiva 3057 . . . 4 (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅ → ∅ ∈ 𝐹)
2823, 27sylbi 207 . . 3 ([∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 → ∅ ∈ 𝐹)
2919, 28nsyl 135 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ [∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧)
30 sstr 3644 . . . . . 6 ((𝑦𝑣𝑣𝑢) → 𝑦𝑢)
3130expcom 450 . . . . 5 (𝑣𝑢 → (𝑦𝑣𝑦𝑢))
3231reximdv 3045 . . . 4 (𝑣𝑢 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
33323ad2ant3 1104 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑢) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
34 vex 3234 . . . 4 𝑣 ∈ V
35 sseq2 3660 . . . . 5 (𝑧 = 𝑣 → (𝑦𝑧𝑦𝑣))
3635rexbidv 3081 . . . 4 (𝑧 = 𝑣 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑣))
3734, 36sbcie 3503 . . 3 ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑣)
38 vex 3234 . . . 4 𝑢 ∈ V
39 sseq2 3660 . . . . 5 (𝑧 = 𝑢 → (𝑦𝑧𝑦𝑢))
4039rexbidv 3081 . . . 4 (𝑧 = 𝑢 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
4138, 40sbcie 3503 . . 3 ([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢)
4233, 37, 413imtr4g 285 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑢) → ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧))
43 fbasssin 21687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤))
44433expib 1287 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤)))
45 sstr2 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
4746reximdv 3045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
48 ss2in 3873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣))
4947, 48syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
5044, 49syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝑧𝐹𝑤𝐹) → ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5150exp5c 643 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑧𝐹 → (𝑤𝐹 → (𝑧𝑢 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))))
5251imp31 447 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑤𝐹) → (𝑧𝑢 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5352impancom 455 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑧𝑢) → (𝑤𝐹 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5453rexlimdv 3059 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑧𝑢) → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
5554ex 449 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝑢 → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5655rexlimdva 3060 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5756impd 446 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
58573ad2ant1 1102 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
59 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑢𝑧𝑢))
6059cbvrexv 3202 . . . . 5 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑢 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑢)
6141, 60bitri 264 . . . 4 ([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑢)
62 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑣𝑤𝑣))
6362cbvrexv 3202 . . . . 5 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 ↔ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣)
6437, 63bitri 264 . . . 4 ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣)
6561, 64anbi12i 733 . . 3 (([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧) ↔ (∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣))
6638inex1 4832 . . . 4 (𝑢𝑣) ∈ V
67 sseq2 3660 . . . . 5 (𝑧 = (𝑢𝑣) → (𝑦𝑧𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
6867rexbidv 3081 . . . 4 (𝑧 = (𝑢𝑣) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
6966, 68sbcie 3503 . . 3 ([(𝑢𝑣) / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))
7058, 65, 693imtr4g 285 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → (([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧) → [(𝑢𝑣) / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧))
711, 2, 18, 29, 42, 70isfild 21709 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  [wsbc 3468  cin 3606  wss 3607  c0 3948  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  Filcfil 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-fil 21697
This theorem is referenced by:  fgabs  21730  trfg  21742  isufil2  21759  ssufl  21769  ufileu  21770  filufint  21771  fixufil  21773  uffixfr  21774  fmfil  21795  fmfg  21800  elfm3  21801  rnelfm  21804  fmfnfmlem2  21806  fmfnfm  21809  fbflim  21827  hausflim  21832  flimclslem  21835  flffbas  21846  fclsbas  21872  fclsfnflim  21878  flimfnfcls  21879  fclscmp  21881  haustsms  21986  tsmscls  21988  tsmsmhm  21996  tsmsadd  21997  cfilufg  22144  metust  22410  fgcfil  23115  cmetcaulem  23132  cmetss  23159  minveclem4a  23247  minveclem4  23249
  Copyright terms: Public domain W3C validator