Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffnfv 6428
 Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
ffnfv (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6083 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 ffvelrn 6397 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
32ralrimiva 2995 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
41, 3jca 553 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
5 simpl 472 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6 fvelrnb 6282 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
76biimpd 219 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
8 nfra1 2970 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵
9 nfv 1883 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐵
10 rsp 2958 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
11 eleq1 2718 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵))
1211biimpcd 239 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵))
1310, 12syl6 35 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵)))
148, 9, 13rexlimd 3055 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵))
157, 14sylan9 690 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵))
1615ssrdv 3642 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹𝐵)
17 df-f 5930 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
185, 16, 17sylanbrc 699 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
194, 18impbii 199 1 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934 This theorem is referenced by:  ffnfvf  6429  fnfvrnss  6430  frnssb  6431  fmpt2d  6433  fconstfv  6517  ffnov  6806  seqomlem2  7591  elixpconst  7958  elixpsn  7989  unblem4  8256  ordtypelem4  8467  oismo  8486  cantnfvalf  8600  rankf  8695  alephon  8930  alephf1  8946  alephf1ALT  8964  alephfplem4  8968  cfsmolem  9130  infpssrlem3  9165  axcc4  9299  domtriomlem  9302  axdclem2  9380  pwfseqlem3  9520  gch3  9536  inar1  9635  peano5nni  11061  cnref1o  11865  seqf2  12860  hashkf  13159  iswrdsymb  13354  ccatrn  13407  shftf  13863  sqrtf  14147  isercoll2  14443  eff2  14873  reeff1  14894  1arith  15678  ramcl  15780  xpscf  16273  dmaf  16746  cdaf  16747  coapm  16768  odf  18002  gsumpt  18407  dprdff  18457  dprdfcntz  18460  dprdfadd  18465  dprdlub  18471  mgpf  18605  prdscrngd  18659  isabvd  18868  psrbagcon  19419  subrgmvrf  19510  mplbas2  19518  mvrf2  19540  psgnghm  19974  frlmsslsp  20183  kqf  21598  fmf  21796  tmdgsum2  21947  prdstmdd  21974  prdstgpd  21975  prdsxmslem2  22381  metdsre  22703  evth  22805  evthicc2  23275  ovolfsf  23286  ovolf  23296  vitalilem2  23423  vitalilem5  23426  0plef  23484  mbfi1fseqlem4  23530  xrge0f  23543  itg2addlem  23570  dvfre  23759  dvne0  23819  mdegxrf  23873  mtest  24203  psercn  24225  recosf1o  24326  logcn  24438  amgm  24762  emcllem7  24773  dchrfi  25025  dchr1re  25033  dchrisum0re  25247  padicabvf  25365  vtxdgfisf  26428  wlkres  26623  hlimf  28222  pjrni  28689  pjmf1  28703  reprinfz1  30828  reprdifc  30833  bnj149  31071  subfacp1lem3  31290  mrsubrn  31536  msrf  31565  mclsind  31593  neibastop2lem  32480  rrncmslem  33761  cdlemk56  36576  hbtlem7  38012  dgraaf  38034  deg1mhm  38102  elixpconstg  39580  elmapsnd  39710  unirnmap  39714  resincncf  40406  dvnprodlem1  40479  volioof  40522  voliooicof  40531  qndenserrnbllem  40832  subsaliuncllem  40893  fge0iccico  40905  elhoi  41077  ovnsubaddlem1  41105  hoiqssbllem3  41159  ovolval4lem1  41184
 Copyright terms: Public domain W3C validator