Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvposlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvposlt 31007
 Description: Functions with a positive derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve strict ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a (𝜑𝐴𝐸)
fdvposlt.b (𝜑𝐵𝐸)
fdvposlt.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
fdvposlt.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
fdvposlt.1 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
fdvposlt (𝜑 → (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvposlt
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.lt . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 fdvposlt.d . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
3 ioossre 12448 . . . . . . . . 9 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
42, 3eqsstri 3776 . . . . . . . 8 𝐸 ⊆ ℝ
5 fdvposlt.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐸)
64, 5sseldi 3742 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 fdvposlt.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐸)
84, 7sseldi 3742 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
96, 8posdifd 10826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
101, 9mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
116, 8, 1ltled 10397 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
12 volioo 23557 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
136, 8, 11, 12syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
1410, 13breqtrrd 4832 . . . 4 (𝜑 → 0 < (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
15 ioossicc 12472 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17 ioombl 23553 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
19 fdvposlt.c . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
20 cncff 22917 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
2221adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
232, 5, 7fct2relem 31005 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
2423sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐸)
2522, 24ffvelrnd 6524 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
26 ax-resscn 10205 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
27 ssid 3765 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
28 cncfss 22923 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2926, 27, 28mp2an 710 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)
3021, 23feqresmpt 6413 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
31 rescncf 22921 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)))
3223, 19, 31sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
3330, 32eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
3429, 33sseldi 3742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
35 cniccibl 23826 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
366, 8, 34, 35syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
3716, 18, 25, 36iblss 23790 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
3821adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
3916sselda 3744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4039, 24syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐸)
4138, 40ffvelrnd 6524 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
42 fdvposlt.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
43 elrp 12047 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
4441, 42, 43sylanbrc 701 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4514, 37, 44itggt0 23827 . . 3 (𝜑 → 0 < ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥)
46 fdvposlt.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
47 fss 6217 . . . . 5 ((𝐹:𝐸⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐸⟶ℂ)
4846, 26, 47sylancl 697 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
49 cncfss 22923 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ))
5026, 27, 49mp2an 710 . . . . 5 (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ)
5150, 19sseldi 3742 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
522, 5, 7, 11, 48, 51ftc2re 31006 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
5345, 52breqtrd 4830 . 2 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
5446, 5ffvelrnd 6524 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5546, 7ffvelrnd 6524 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
5654, 55posdifd 10826 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ↔ 0 < ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))))
5753, 56mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℝ+crp 12045  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  –cn→ccncf 22900  volcvol 23452  𝐿1cibl 23605  ∫citg 23606   D cdv 23846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850 This theorem is referenced by:  fdvneggt  31008
 Copyright terms: Public domain W3C validator