MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfifsupp 8270
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 ffun 6035 . . 3 (𝐹:𝐷𝑅 → Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 fdmfisuppfi.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
5 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
61, 4, 5fdmfisuppfi 8269 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
7 ffn 6032 . . . . 5 (𝐹:𝐷𝑅𝐹 Fn 𝐷)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
9 fnex 6466 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
108, 4, 9syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 isfsupp 8264 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
1210, 5, 11syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
133, 6, 12mpbir2and 956 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871  wf 5872  (class class class)co 6635   supp csupp 7280  Fincfn 7940   finSupp cfsupp 8260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-supp 7281  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-fsupp 8261
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8271  fndmfifsupp  8273  gsummptfif1o  18348  psrmulcllem  19368  frlmfibas  20086  elfilspd  20123  tmdgsum  21880  tsmslem1  21913  tsmssubm  21927  tsmsres  21928  tsmsf1o  21929  tsmsmhm  21930  tsmsadd  21931  tsmsxplem1  21937  tsmsxplem2  21938  imasdsf1olem  22159  xrge0gsumle  22617  xrge0tsms  22618  ehlbase  23175  jensenlem2  24695  jensen  24696  amgmlem  24697  amgm  24698  wilthlem2  24776  wilthlem3  24777  gsumle  29753  xrge0tsmsd  29759  esumpfinvalf  30112  k0004ss2  38270  rrxbasefi  40266  sge0tsms  40360  fsuppmptdmf  41927  linccl  41968  lcosn0  41974  islinindfis  42003  snlindsntor  42025  ldepspr  42027  zlmodzxzldeplem2  42055  amgmwlem  42313  amgmlemALT  42314
  Copyright terms: Public domain W3C validator