MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfifsupp 8440
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 ffun 6188 . . 3 (𝐹:𝐷𝑅 → Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 fdmfisuppfi.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
5 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
61, 4, 5fdmfisuppfi 8439 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
7 ffn 6185 . . . . 5 (𝐹:𝐷𝑅𝐹 Fn 𝐷)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
9 fnex 6624 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
108, 4, 9syl2anc 565 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 isfsupp 8434 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
1210, 5, 11syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
133, 6, 12mpbir2and 684 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2144  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  wf 6027  (class class class)co 6792   supp csupp 7445  Fincfn 8108   finSupp cfsupp 8430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-supp 7446  df-er 7895  df-en 8109  df-fin 8112  df-fsupp 8431
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8441  fndmfifsupp  8443  gsummptfif1o  18573  psrmulcllem  19601  frlmfibas  20321  elfilspd  20358  tmdgsum  22118  tsmslem1  22151  tsmssubm  22165  tsmsres  22166  tsmsf1o  22167  tsmsmhm  22168  tsmsadd  22169  tsmsxplem1  22175  tsmsxplem2  22176  imasdsf1olem  22397  xrge0gsumle  22855  xrge0tsms  22856  ehlbase  23412  jensenlem2  24934  jensen  24935  amgmlem  24936  amgm  24937  wilthlem2  25015  wilthlem3  25016  gsumle  30113  xrge0tsmsd  30119  esumpfinvalf  30472  k0004ss2  38969  rrxbasefi  41014  sge0tsms  41108  fsuppmptdmf  42680  linccl  42721  lcosn0  42727  islinindfis  42756  snlindsntor  42778  ldepspr  42780  zlmodzxzldeplem2  42808  amgmwlem  43069  amgmlemALT  43070
  Copyright terms: Public domain W3C validator