Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivmpt 42836
Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivmpt ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt
StepHypRef Expression
1 fex 6645 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
213adant2 1125 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3 fex 6645 . . . 4 ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
433adant1 1124 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5 fdivval 42835 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6 offres 7320 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
75, 6eqtrd 2786 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
82, 4, 7syl2anc 696 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9 ffn 6198 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
1093ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11 suppssdm 7468 . . . . 5 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12 fdm 6204 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
1312eqcomd 2758 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14133ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
1511, 14syl5sseqr 3787 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16 fnssres 6157 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
1710, 15, 16syl2anc 696 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18 ffn 6198 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19183ad2ant2 1128 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20 fnssres 6157 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
2119, 15, 20syl2anc 696 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22 ovexd 6835 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
23 inidm 3957 . . 3 ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
24 fvres 6360 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
2524adantl 473 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
26 fvres 6360 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2726adantl 473 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2817, 21, 22, 22, 23, 25, 27offval 7061 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
298, 28eqtrd 2786 1 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  wss 3707  cmpt 4873  dom cdm 5258  cres 5260   Fn wfn 6036  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑓 cof 7052   supp csupp 7455  cc 10118  0cc0 10120   / cdiv 10868   /f cfdiv 42833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-supp 7456  df-fdiv 42834
This theorem is referenced by:  fdivmptf  42837  refdivmptf  42838  fdivmptfv  42841  refdivmptfv  42842
  Copyright terms: Public domain W3C validator