Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcobijfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcobijfs 29781
Description: Composing finitely supported functions with a bijection yields a bijection between sets of finitely supported functions. See also mapfien 8466. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
fcobij.2 (𝜑𝑅𝑈)
fcobij.3 (𝜑𝑆𝑉)
fcobij.4 (𝜑𝑇𝑊)
fcobijfs.5 (𝜑𝑂𝑆)
fcobijfs.6 𝑄 = (𝐺𝑂)
fcobijfs.7 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
fcobijfs.8 𝑌 = { ∈ (𝑇𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
Assertion
Ref Expression
fcobijfs (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,,𝐺   𝑅,𝑓,   𝑆,𝑓,   𝑇,𝑓,   𝜑,𝑓,   𝑓,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑔,,𝑂   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔,)   𝐺(𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔,)   𝑊(𝑓,𝑔,)   𝑋(𝑔,)   𝑌(𝑔,)

Proof of Theorem fcobijfs
StepHypRef Expression
1 fcobijfs.7 . . . 4 𝑋 = {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
2 breq1 4795 . . . . 5 ( = 𝑔 → ( finSupp 𝑂𝑔 finSupp 𝑂))
32cbvrabv 3327 . . . 4 { ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑂} = {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂}
41, 3eqtr4i 2773 . . 3 𝑋 = { ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑂}
5 fcobijfs.8 . . 3 𝑌 = { ∈ (𝑇𝑚 𝑅) ∣ finSupp 𝑄}
6 fcobijfs.6 . . 3 𝑄 = (𝐺𝑂)
7 f1oi 6323 . . . 4 ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑅):𝑅1-1-onto𝑅)
9 fcobij.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆1-1-onto𝑇)
10 fcobij.2 . . . 4 (𝜑𝑅𝑈)
11 elex 3340 . . . 4 (𝑅𝑈𝑅 ∈ V)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
13 fcobij.3 . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
14 elex 3340 . . . 4 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
16 fcobij.4 . . . 4 (𝜑𝑇𝑊)
17 elex 3340 . . . 4 (𝑇𝑊𝑇 ∈ V)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
19 fcobijfs.5 . . 3 (𝜑𝑂𝑆)
204, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 12, 18, 19mapfien 8466 . 2 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌)
21 ssrab2 3816 . . . . . . 7 {𝑔 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) ∣ 𝑔 finSupp 𝑂} ⊆ (𝑆𝑚 𝑅)
221, 21eqsstri 3764 . . . . . 6 𝑋 ⊆ (𝑆𝑚 𝑅)
2322sseli 3728 . . . . 5 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅))
24 coass 5803 . . . . . 6 ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))
25 f1of 6286 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑆1-1-onto𝑇𝐺:𝑆𝑇)
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑆𝑇)
27 elmapi 8033 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅) → 𝑓:𝑅𝑆)
28 fco 6207 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝑆𝑇𝑓:𝑅𝑆) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
2926, 27, 28syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅)) → (𝐺𝑓):𝑅𝑇)
30 fcoi1 6227 . . . . . . 7 ((𝐺𝑓):𝑅𝑇 → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅)) → ((𝐺𝑓) ∘ ( I ↾ 𝑅)) = (𝐺𝑓))
3224, 31syl5eqr 2796 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑆𝑚 𝑅)) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
3323, 32sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑋) → (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅))) = (𝐺𝑓))
3433mpteq2dva 4884 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)))
35 f1oeq1 6276 . . 3 ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))) = (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)) → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑓𝑋 ↦ (𝐺 ∘ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝑅)))):𝑋1-1-onto𝑌 ↔ (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌))
3720, 36mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑓𝑋 ↦ (𝐺𝑓)):𝑋1-1-onto𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  {crab 3042  Vcvv 3328   class class class wbr 4792  cmpt 4869   I cid 5161  cres 5256  ccom 5258  wf 6033  1-1-ontowf1o 6036  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑚 cmap 8011   finSupp cfsupp 8428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-1o 7717  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-fin 8113  df-fsupp 8429
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  30714
  Copyright terms: Public domain W3C validator